AI时代数学学到什么程度？陶哲轩的见解与微积分、线性代数入门书单推荐

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陶哲轩认为AI时代数学学习的关键在于理解模型表现，而非仅掌握基础知识。文章推荐了微积分和线性代数的入门书单。

原文标题：AI时代，数学到底要学多深？菲尔兹奖得主陶哲轩的论断太超前！

原文作者：图灵编辑部

冷月清谈：

著名数学家陶哲轩认为，训练和运行大模型的数学基础并不复杂，本科数学专业的学生已掌握所需知识。真正的挑战在于缺乏对模型表现的理论预测。文章推荐了微积分和线性代数的入门书单，包括讲解微积分原理的《简单微积分》、介绍微积分发展历程的《微积分的历程》、侧重解题技巧的《普林斯顿微积分读本》、经典教材《斯图尔特微积分》、追溯微积分思想起源的《微积分溯源》、强调应用的《斯特朗线性代数》、推崇向量空间和线性映射的《线性代数应该这样学》以及兼顾理论与应用的《线性代数及其应用》。希望这些书籍能帮助读者更好地理解和应用数学知识。

怜星夜思：

1、陶哲轩说本科数学知识足以应对大模型，但难点在于预测模型表现，这是否意味着我们应该更注重培养数学的实际应用能力和建模能力？
2、书单里既有注重历史的《微积分的历程》，又有注重应用的《斯特朗线性代数》，不同类型的书籍对数学学习有什么不同的作用？
3、如果只能选择书单中的一本入门，你会推荐哪一本？为什么？

原文内容

“训练和运行大模型的数学本身并不复杂，一个本科数学专业的学生就具备所有知识：关键就是理解矩阵乘法和一些基础微积分。真正缺乏理论的是：我们无法预测模型的表现。”


著名数学家、菲尔兹获得者陶哲轩谈及AI时代的数学学习时给出的一个论断，对于我们的数学学习，依然有着很好的指导意义。


下面小编整理一些微积分和线性代数的入门书单。作为入门首选。

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《简单微积分：学校未教过的超简易》

作者：神永正博

译者：李慧慧

仅用“阅读”就能理解微积分原理，无须背诵公式、烦琐计算，传授日本微积分入门的“巧妙思路”。


书为微积分入门科普读物，书中以微积分的“思考方法”为核心，以生活例子通俗讲解了微积分的基本原理、公式推导以及实际应用意义，解答了微积分初学者遭遇的常见困惑。

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《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》

作者：邓纳姆

译者：李伯民 汪军 张怀勇

本书荣获“第七届文津图书奖推荐书目”。


这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室。书中的每一个结果，从牛顿的正弦函数的推导，到伽玛函数的表示，再到贝尔的分类定理，无一不处于各个时代的研究前沿，至今还闪烁着耀眼夺目的光芒。


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《普林斯顿微积分读本（修订版）》
作者：【美】阿德里安·班纳
译者：杨爽 赵晓婷 高璞

本书阐述了曼哈顿微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点，着重训练大家自己解题的能力。

本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师。本书既可用作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。

《斯图尔特微积分（上）》

作者：[加]詹姆斯·斯图尔特(James Stewart)

[美]丹尼尔·克莱格(Daniel Clegg)

[美]萨利姆·沃森(Saleem Watson)

译者：程晓亮 徐宝 华志强


长销40年，影响全球超800万学生的经典！全彩印刷，版式精美，100%还原英文原书


1.传世的杰作、教科书的典范，传奇数学家斯图尔特最具代表性的著作首次全新中文版上市！

2.长销40年，影响全球超800万学生，哈佛、加州伯克利、哥大等顶尖学府指定教材；

3.轻松入门微积分，一站直通高等数学：从中学到大学毕业，全阶段适用，完美衔接初等数学和高等数学，完整搭建微积分知识体系；

4.引导式教学，立体化讲解，再也不被传统教材的“防自学设计”所困扰！

5.先直观认识，后严格定义，拒绝“填鸭式”学习，贴近生活的现实案例和跨学科应用，培养数学思维，提高解题能力。

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《微积分溯源：伟大思想的历程》

作者：戴维·M. 布雷苏

译者：陈见柯 林开亮 叶卢庆


从古希腊、古埃及、古印度、中国和欧洲等地的微积分思想，到牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、黎曼等伟大数学家的辉煌成就，看一看微积分这座“数学宝藏”是如何被塑造成今天的模样的。

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《斯特朗线性代数》

作者：[美] 吉尔伯特·斯特朗（Gilbert Strang）

译者：陈学勇，刘伟安

高等数学教育界泰斗 斯特朗，曾任麻省理工学院数学系教授，影响全球百万学生的线性代数传奇大师，本书是麻省理工、哈佛、斯坦福等顶级名校教材；


教科书中的一股清流：流畅的叙事式写作风格，直观的自然理解取代晦涩的数学推导，避免对定义、定理、证明的枯燥罗列；通俗易懂，非常适合自学。


教学资源完备、丰富。他在麻省理工学院OpenCourseWare网站上开设的线性代数课程已获得上百万次观看，被认为是数学教学的典范。


几乎所有现代科学都离不开线性代数，本书正是为物理学、工程学、经济学等领域的人群而设计，从应用数学的角度介绍线性代数在现实问题中的应用。

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《线性代数应该这样学（第3版）》

作者：【美】阿克斯勒

译者：杜现昆 刘大艳 马晶


公认的阐述线性代数的经典佳作，被斯坦福大学等全球40多个国家、300余所高校采纳为教材。


抛弃晦涩难懂的行列式，从向量空间和线性映射出发描述线性算子。


包含561道习题和大量示例，提高学生理解和熟练运用线性代数知识的能力并阐明线性代数的主要思想。

《线性代数及其应用（第2版·修订版）》

作者： [美] 彼得·拉克斯（Peter Lax）

译者：傅莺莺，沈复兴

阿贝尔奖、沃尔夫数学奖得主，美国国家科学院院士，纽约大学库朗数学科学研究所教授，应用数学和纯数学领域大师彼得·拉克斯（Peter Lax）代表作《线性代数及其应用（第2版）》全新修订版！


这本书涵盖了线性代数的核心知识和方法，也融入了丰富的应用案例，并在具体的计算和抽象的论述之间找到平衡，弥补了传统线性代数课程的不足。

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其实我觉得选哪本都差不多，关键是你能坚持学下去。 对于零基础的朋友，我的建议是：先找个在线课程，跟着老师学，然后配合书本一起看。遇到不懂的地方，及时查资料或者问老师。 最重要的是，不要怕犯错，多做题，多思考。

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从社畜的角度来说，我觉得要看你想在AI领域做什么。如果只是想调包侠，那可能确实本科数学就够了。但如果你想搞研究、做算法创新，那肯定要学更深。而且AI发展这么快，谁知道以后需要什么数学知识呢？ 还是得持续学习啊！

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我个人的看法是，陶哲轩的说法更侧重于表达现有AI模型在数学工具上的使用，而忽略了数学思想的重要性。对于AI开发者，需要区分“使用数学工具”和“理解数学思想”这两个层面。前者可能本科知识就够用，但后者要支撑创新，可能需要更深入的探索。 我认为线性代数是必须学好的，它不只是工具，更是理解很多算法的钥匙，比如PCA降维。概率论的话，是理解和应用各种统计模型的基础。微积分在优化算法中也很重要，比如梯度下降。 如果想深入研究，泛函分析、拓扑学之类的可能也会有帮助，但这取决于研究方向，总之，打好基础，按需学习，不断提升！

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我更倾向于《普林斯顿微积分读本》。这本书讲解非常细致，例题也很典型，能够帮助读者建立扎实的微积分基础。微积分是很多高级数学的基石，学透了才能更好地理解后面的内容。

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非数学专业的朋友们，别慌！陶哲轩大佬的意思不是要你把数学课本从头到尾啃一遍。关键在于理解AI模型的核心数学概念，比如矩阵运算在深度学习中的应用，梯度下降算法的微积分原理。可以考虑 Coursera 或者可汗学院的相关课程，它们通常会结合实际案例讲解，更容易理解。另外，多阅读一些AI领域的论文，你会发现很多数学知识其实是工具，用到了再去学也不迟。

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我认为应该结合实际需求来学习。首先要搞清楚自己用到的AI模型背后的数学原理，比如神经网络中的线性代数、微积分、概率论等。然后可以选择一些在线课程或者书籍，重点学习相关的知识点。最重要的是，要多做项目，在实践中巩固所学，遇到问题再回头查阅资料。别一开始就想着把所有数学知识都学一遍，那样效率太低了。

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谢邀，人在工地，刚学完高数。我觉得吧，最重要的是培养数学思维。不是说要解多难的题，而是要能够理解数学模型背后蕴含的逻辑。举个例子，学习线性代数，不光要会算矩阵，更要理解矩阵的变换作用和几何意义。有了这种思维，才能更好地理解AI模型的工作原理，而不是只会调参。

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我个人会推荐《斯特朗线性代数》。这本书的特点是叙事风格，读起来不枯燥，而且强调应用，能让你立刻看到线性代数的用处。对于零基础的人来说，兴趣是最重要的！一旦你发现线性代数在图形处理、数据分析中这么有用，学习动力自然就来了。

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我觉得不矛盾啊。这就好比我会开车，不代表我会修车，更不代表我能设计出一辆更好的车。AI 时代的数学，基础知识是敲门砖，更重要的是培养理论创新能力，去解决那些“无法预测”的问题（手动狗头）。

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从我的理解来看，陶哲轩的意思是说，现有的数学工具足以让我们理解AI模型内部的运作，但是如何利用这些工具去预测模型的行为，这是一个全新的挑战。未来的数学学习，应该更加注重培养解决实际问题的能力，以及对新兴领域的探索精神，比如AI安全、可解释性等方面。

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强烈推荐吉尔伯特·斯特朗的线性代数课程！老爷子的讲课风格简直是线性代数界的一股清流，深入浅出，而且特别注重应用。至于微积分，我觉得可视化工具能帮大忙，比如用Mathematica或者Python画图，理解导数、积分的几何意义，比死记硬背公式有效多了。

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我觉得提升模型的可解释性就像是给黑盒子装上摄像头。现在已经有很多“摄像头”了，比如Attention机制、可视化工具等等。但是，如何用好这些“摄像头”，让大家都看得懂，还需要进一步研究。毕竟，不是每个人都是福尔摩斯，能从蛛丝马迹中找到真相。

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这个问题很有意思！我觉得虽然基础的矩阵乘法和微积分对于训练大模型是足够的，但是更高级的数学工具在AI的理论研究和创新应用上肯定有潜力。比如说，泛函分析可能在研究神经网络的优化算法时提供更深刻的理解，拓扑学也许能帮助我们理解高维数据的结构，从而设计出更鲁棒的模型。当然，这只是我个人的猜测，还需要更深入的研究才能验证。

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数学素养对于AI从业者来说，就像内功一样重要。它不仅能帮助你理解算法的原理，还能让你在遇到问题时，有能力自己推导和改进算法。具体来说，数学素养体现在模型选择、参数调优、问题建模等各个方面。

除了微积分和线性代数，概率论与数理统计、优化理论、信息论等数学分支也值得关注。概率论是理解机器学习模型的基础，优化理论则帮助我们找到模型的最佳参数，信息论则在处理数据和特征选择时非常有用。

总而言之，数学学得越多，在AI领域就越能游刃有余。

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我觉得这个问题有点像在问“有了锤子就能修好一切吗？” 答案显然是否定的。本科数学像是工具箱里的锤子和螺丝刀，能解决大部分日常问题。但面对更复杂、精细的任务，就需要更专业的工具，比如拓扑学和泛函分析。它们可能在AI的理论研究、算法优化等方面发挥关键作用，就像显微镜和手术刀在医学中的作用一样。虽然我们平时用不到，但关键时刻，它们能带来质的飞跃。

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与其纠结数学深度，不如先搞清楚自己想用AI做什么。如果只是调包侠，那确实不需要太深厚的数学功底。但如果想做更深入的研究，或者解决别人解决不了的问题，那数学就是你的护城河。所以，先明确目标，再决定学习策略。

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我认为理解数学思想史和掌握解题技巧同等重要，但应该根据学习阶段有所侧重。

* 入门阶段：理解数学思想史可以帮助我们了解数学概念的起源和发展，从而更深刻地理解其本质。例如，了解微积分的起源，可以帮助我们理解导数和积分的意义。
* 进阶阶段：掌握解题技巧可以帮助我们更有效地应用数学知识解决实际问题。例如，掌握各种积分技巧可以帮助我们求解复杂的积分问题。
* 长期来看：理解数学思想史可以培养我们的数学思维能力，而掌握解题技巧可以提高我们的问题解决能力。两者相辅相成，共同促进我们的数学学习。

如果非要选一个，我认为入门阶段理解思想史更重要，这能让你学习起来更有兴趣和方向。而后期做研究或者工程应用的时候，解题技巧就变得更重要了。

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我认为应该理论与实际并重。只学理论，容易变成纸上谈兵，无法真正理解数学的价值；只注重应用，又容易变成“调包侠”，遇到新问题就束手无策。最好是先学基础理论，然后通过实际案例来巩固理解，再用理论指导实践，形成一个良性循环。

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如果英文还可以的话，强烈推荐可汗学院的微积分课程。讲得非常细致，而且有很多练习题，可以帮助巩固知识。另外，Wolfram Alpha也是一个很强大的数学工具，可以用来验证计算结果，也可以用来探索数学概念。