Savitzky-Golay滤波器：原理、Python实现及应用

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Savitzky-Golay滤波器：一种保持信号特征的平滑方法，Python实现及应用示例。

原文标题：高精度保形滤波器Savitzky-Golay的数学原理、Python实现与工程应用

原文作者：数据派THU

原文链接： http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1MjQ2OTQ3Ng==&mid=2247651159&idx=2&sn=9661716cadc559d77cb1d6b39a541020&

冷月清谈：

Savitzky-Golay滤波器是一种强大的信号平滑工具，能够在去除噪声的同时有效保留信号的特征，例如峰值和谷值。它基于局部多项式回归的原理，通过滑动窗口对数据进行拟合，并用拟合的多项式在窗口中心的值作为滤波后的输出。

该滤波器的核心参数是窗口大小和多项式阶数。窗口大小决定了平滑的程度和对局部特征的保留能力，而多项式阶数则影响了拟合的精度和对复杂形状的适应性。选择合适的参数需要根据信号的特性和应用场景进行调整。

文章通过Python代码示例演示了如何使用`scipy.signal`库中的`savgol_filter`函数实现Savitzky-Golay滤波，并分析了不同参数组合对滤波效果的影响。此外，文章还讨论了算法的局限性，例如边界效应和计算复杂度，并提供了一些实践建议，包括参数选择策略、性能评估方法和高级应用技巧。

怜星夜思：

1、文章中提到了Savitzky-Golay滤波器可以用于数据平滑和微分运算，那么它在微分运算方面有什么优势，实际应用中有哪些例子呢？
2、如何选择合适的窗口大小和多项式阶数？有没有什么经验法则或者通用的指导原则？
3、除了文中提到的应用，Savitzky-Golay滤波器还可以应用于哪些领域？

原文内容

来源：Deephub Imba
本文约3200字，建议阅读5分钟
本文介绍了高精度保形滤波器Savitzky-Golay的数学原理、Python实现与工程应用。

面向信号处理的特征保持平滑技术

在数据分析领域，信号处理中的噪声问题始终是一个重要议题。无论是实验数据、金融时间序列还是其他形式的信号处理，噪声都会干扰目标模式和趋势的识别。尽管存在多种降噪方法，但在处理短时信号时，算法的性能往往比执行效率更为重要。在众多方法中Savitzky-Golay滤波器因其独特的特征保持能力而脱颖而出。

Savitzky-Golay滤波器由Abraham Savitzky和Marcel J. E. Golay于1964年提出，是一种应用广泛的数字滤波器，可用于数据平滑和微分运算。与传统的中值滤波或均值滤波等容易造成信号特征损失的方法相比，Savitzky-Golay滤波器能够在实现信号平滑的同时保持原始信号的关键特征。这一特性使其在信号形状和特征保持要求较高的应用场景中具有显著优势。

本文将系统地介绍Savitzky-Golay滤波器的原理、实现和应用。我们将从基本原理出发，通过数学推导和直观解释，深入理解该滤波器的工作机制。同时将结合Python实现，展示其在实际应用中的效果。

Savitzky-Golay滤波器原理

Savitzky-Golay滤波器是一种基于局部多项式回归的数字滤波器，其核心是通过线性最小二乘法将低阶多项式拟合到相邻数据点的滑动窗口中。该方法的主要优势在于能够在降低噪声的同时保持信号的高阶矩，这意味着信号的峰值、谷值等特征可以得到较好的保持。

滤波器的工作过程可以概括为：在信号序列上滑动固定大小的窗口，对窗口内的数据点进行多项式拟合。窗口大小和多项式阶数是该算法的两个关键参数。算法在每个窗口位置计算多项式在中心点处的值，将其作为该点的滤波输出。通过对每个数据点重复此过程，最终得到完整的滤波信号。

数学原理

多项式拟合

Savitzky-Golay滤波器的核心是局部多项式拟合。设数据序列为(xi, yi)，其中i∈[1, N]，目标是用p阶多项式对局部数据进行拟合。

多项式表达式为：

对于中心位于x_k的窗口，需要确定系数向量[a0, a1, ..., ap]，使得多项式能最佳拟合窗口内的数据点。这个优化问题可以通过最小化均方误差来解决：

其中，2m+1表示窗口大小，窗口中心为点x_k。

拟合实例

为了说明算法的具体实现过程，我们考虑一个简单的例子：窗口大小为5（即m=2）的2阶多项式拟合。

假设窗口内的数据点为：

采用2阶多项式进行拟合：

最小化误差函数：

求解得到系数后，滤波后的值yhat_k由多项式在中心点x_k处的值给出：

这个过程体现了Savitzky-Golay滤波器的本质：通过局部多项式拟合来实现数据平滑，同时保持信号的高阶特征。

Python实现与应用示例

以下通过一个完整的示例演示Savitzky-Golay滤波器的应用过程。首先生成含噪声的测试信号：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import savgol_filter
np.random.seed(0)

x = np.linspace(0, 2 * np.pi, 100)

y = np.sin(x) + np.random.normal(0, 0.1, x.size)
plt.plot(x, y, label=‘Noisy Signal’)  # 原始含噪信号

plt.grid(lw=2,ls=‘:’)

plt.xlabel(‘Time Step’)  # 时间步长

plt.ylabel(“Value”)      # 信号值

plt.legend()

plt.show()

上图展示了添加高斯噪声后的正弦信号。

使用scipy.signal模块中的savgol_filter函数实现滤波。选择窗口大小为11，多项式阶数为3：

window_size = 11
poly_order = 3
y_smooth = savgol_filter(y, window_size, poly_order)
plt.plot(x, y, label=‘Noisy Signal’)        # 原始含噪信号

plt.plot(x, y_smooth, label=‘Smoothed Signal’, color=‘red’)  # 滤波后信号

plt.grid(lw=2,ls=‘:’)

plt.xlabel(‘Time Step’)   # 时间步长

plt.ylabel(“Value”)       # 信号值

plt.legend()

plt.show()

滤波结果显示，算法成功地去除了噪声同时保持了信号的基本形状。

上述动画展示了滤波过程中窗口滑动和局部拟合的过程。

参数影响分析

以下代码比较了不同窗口大小和多项式阶数对滤波效果的影响：

fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(20, 12))
配置1：小窗口，低阶多项式
y_smooth_1 = savgol_filter(y_complex, 5, 2)

axs[0, 0].plot(x, y_complex, label=‘Noisy Signal’)

axs[0, 0].plot(x, y_smooth_1, label=‘Smoothed Signal (5, 2)’, color=‘red’)

axs[0, 0].legend()

axs[0, 0].set_title(‘Window Size: 5, Poly Degree: 2’)

plt.xlabel(‘Time Step’)   # 时间步长

plt.ylabel(“Value”)       # 信号值

plt.legend()
配置2：小窗口，高阶多项式
y_smooth_2 = savgol_filter(y_complex, 5, 4)

axs[0, 1].plot(x, y_complex, label=‘Noisy Signal’)

axs[0, 1].plot(x, y_smooth_2, label=‘Smoothed Signal (5, 4)’, color=‘red’)

axs[0, 1].legend()

axs[0, 1].set_title(‘Window Size: 5, Poly Degree: 4’)
配置3：大窗口，低阶多项式
y_smooth_3 = savgol_filter(y_complex, 21, 2)

axs[1, 0].plot(x, y_complex, label=‘Noisy Signal’)

axs[1, 0].plot(x, y_smooth_3, label=‘Smoothed Signal (21, 2)’, color=‘red’)

axs[1, 0].legend()

axs[1, 0].set_title(‘Window Size: 21, Poly Degree: 2’)
配置4：大窗口，高阶多项式
y_smooth_4 = savgol_filter(y_complex, 21, 4)

axs[1, 1].plot(x, y_complex, label=‘Noisy Signal’)

axs[1, 1].plot(x, y_smooth_4, label=‘Smoothed Signal (21, 4)’, color=‘red’)

axs[1, 1].legend()

axs[1, 1].set_title(‘Window Size: 21, Poly Degree: 4’)
plt.tight_layout()

plt.show()

参数效果分析

• 小窗口低阶配置：能够保持局部特征，但对高频噪声的抑制效果有限
• 小窗口高阶配置：可以捕获复杂的局部变化，但存在过拟合风险
• 大窗口低阶配置：具有良好的噪声抑制效果，但可能会过度平滑信号特征
• 大窗口高阶配置：在保持信号特征的同时提供平滑效果，但需要注意窗口大小与信号特征尺度的匹配# 实践指南

参数选择策略

Savitzky-Golay滤波器的性能很大程度上取决于窗口大小和多项式阶数的选择。这两个参数需要根据具体应用场景进行优化。

窗口大小选择

窗口大小(2m+1)的选择需要考虑以下因素：

• 小窗口：适用于快速变化信号的处理
• 优势：能够保持信号的局部特征和快速变化
• 局限：噪声抑制效果可能不够理想
• 大窗口：适用于缓慢变化信号的处理
• 优势：具有更好的噪声抑制效果
• 局限：可能会模糊信号的局部特征

多项式阶数选择

多项式阶数(p)的选择需要权衡以下因素：

• 低阶多项式（p=2或3）
• 适用于平滑变化的信号
• 具有较好的抗噪声能力
• 计算效率较高
• 高阶多项式（p=4或5）
• 适用于具有复杂局部结构的信号
• 能够更好地保持信号特征
• 需要注意过拟合风险

算法局限性

边界效应

• 在信号边界处的滤波效果较差
• 原因：可用于拟合的数据点不足
• 解决方案：考虑使用边界延拓或其他边界处理技术

数据间隔要求

• 要求输入数据点间隔均匀
• 非均匀采样数据需要预处理
• 可考虑插值重采样

计算复杂度

• 对于大规模数据集，计算开销较大
• 需要考虑优化策略和并行处理

实施建议

参数初始化

• 建议起始参数：窗口大小=11，多项式阶数=3
• 根据具体应用效果进行调整

性能评估

• 建立客观的评估指标
• 使用交叉验证等方法评估参数选择
• 结合视觉检查和定量分析

优化策略

• 对关键参数进行网格搜- 使用网格搜索优化关键参数
• 可以考虑引入自适应参数选择机制
• 根据信号特征动态调整参数

边界处理

• 实现适当的边界处理策略
• 可选方案包括：
• 数据延拓
• 特殊边界滤波器设计
• 混合滤波策略

高级应用技巧

信号特征分析

在应用Savitzky-Golay滤波器之前，建议对信号进行特征分析：

频谱特性

• 分析信号的频率组成
• 确定主要特征频率
• 评估噪声分布特性

变化率特征

• 评估信号的变化速率
• 识别关键特征点
• 确定合适的窗口大小范围

噪声特性

• 分析噪声的统计特性
• 评估信噪比
• 确定滤波强度要求

特殊应用场景

实时处理

• 降低算法复杂度
• 优化计算效率
• 实现因果滤波

多维数据处理

• 扩展到多维滤波
• 考虑维度间的关联性
• 优化计算资源利用

总结

Savitzky-Golay滤波器是一种强大的数据平滑工具，其在保持信号特征方面的优势使其成为许多应用场景的首选方法。通过合理的参数选择和优化策略，可以充分发挥该算法的潜力。在实际应用中

在实际应用中需要注意以下的要点：

1. 参数选择需要考虑信号特征
   ‍
2. 关注算法的局限性
3. 采用适当的优化策略
4. 重视边界处理问题
5. 根据具体应用进行定制化设计

编辑：王菁‍‍‍

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今日头条：数据派THU

[Quartz24q]

@DatapiTHU

如何选择合适的窗口大小和多项式阶数？有没有什么经验法则或者通用的指导原则？

我补充一下，窗口大小的选择还跟信号的频率有关。如果信号频率比较高，建议用小一点的窗口，反之则可以用大一点的窗口。另外，还可以通过交叉验证等方法来评估不同参数组合的效果，选择最优的参数。

[EmeraldDog210]

@DatapiTHU

文章中提到了Savitzky-Golay滤波器可以用于数据平滑和微分运算，那么它在微分运算方面有什么优势，实际应用中有哪些例子呢？

关于微分运算的应用，我想到一个例子，在图像处理里，可以用Savitzky-Golay滤波器计算图像的梯度，用于边缘检测。因为它对噪声不敏感，所以得到的边缘会比较清晰。

[Spark21u]

@DatapiTHU

文章中提到了Savitzky-Golay滤波器可以用于数据平滑和微分运算，那么它在微分运算方面有什么优势，实际应用中有哪些例子呢？

对于“Savitzky-Golay滤波器在微分运算方面的优势”，它可以对噪声数据进行平滑后再进行微分，从而避免了直接对噪声数据微分带来的误差放大。这个特性在很多领域都有应用，比如光谱分析中可以用来识别峰的宽度和位置。另外，相比于差分法，Savitzky-Golay微分可以提供更高阶的导数信息，有助于更精细的信号分析。

[Blaze03m]

@DatapiTHU

除了文中提到的应用，Savitzky-Golay滤波器还可以应用于哪些领域？

在生物医学信号处理中，Savitzky-Golay滤波器也有很多应用，比如去除心电图、脑电图等信号中的噪声和伪迹，提取特征参数，用于疾病的诊断和监测。

[Echo319s]

@DatapiTHU

如何选择合适的窗口大小和多项式阶数？有没有什么经验法则或者通用的指导原则？

关于如何选择合适的窗口大小和多项式阶数，其实没有一个绝对的标准，需要根据实际情况来定。一般来说，窗口越大，平滑效果越好，但可能会损失一些细节信息；多项式阶数越高，拟合精度越高，但也更容易过拟合。我通常会先尝试一些常用的组合，比如窗口大小5、7、9等，多项式阶数2、3、4等，然后根据结果再进行调整。

[Void912s]

@DatapiTHU

除了文中提到的应用，Savitzky-Golay滤波器还可以应用于哪些领域？

我想到一个比较特别的应用，就是用Savitzky-Golay滤波器来平滑金融时间序列数据，比如股票价格、汇率等，然后进行预测分析，据说效果也还不错。

[Glyph270t]

@DatapiTHU

如何选择合适的窗口大小和多项式阶数？有没有什么经验法则或者通用的指导原则？

选择窗口大小和多项式阶数确实是个让人头疼的问题。我记得以前看过一篇文章，建议窗口大小最好是奇数，并且要大于等于多项式阶数的两倍加一。当然，这只是一种经验之谈，还是要根据实际情况来选择。

[StormyRaven098]

@DatapiTHU

文章中提到了Savitzky-Golay滤波器可以用于数据平滑和微分运算，那么它在微分运算方面有什么优势，实际应用中有哪些例子呢？

补充一点，Savitzky-Golay滤波器在微分运算上的优势还在于它可以同时进行平滑和微分，一步到位，效率更高。我之前做过一个项目，用它来分析心电图信号，提取特征点，效果还不错。

[ThunderLion891]

@DatapiTHU

除了文中提到的应用，Savitzky-Golay滤波器还可以应用于哪些领域？

Savitzky-Golay滤波器的应用非常广泛。我之前用它做过化学光谱数据的去噪，效果很好。它可以有效去除光谱中的噪声，同时保留重要的峰信息，用于物质的定性和定量分析。