无理数的发现动摇了毕达哥拉斯学派的“万物皆数”信念，引发了第一次数学危机，其根源在于无穷，揭示了测量和精确性的局限。该危机促进了逻辑与公理化体系的发展，为微积分和集合论的诞生铺路。
原文标题：为什么发现个无理数，就引发了数学危机
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
* **数学原子论观点受到挑战。** 毕达哥拉斯学派认为“数”由整数构成，但根号2无法表示成两个整数之比，颠覆了这一观点。
* **数学危机暂时化解。** 欧多克索斯将不可通约量从代数中抽离，仅作为几何中逻辑关系构造出来的量来使用，暂时化解了危机。
* **数学危机的本质：无穷。** 无理数的发现揭示了测量和精确性的局限，预示了第二次数学危机的根源：无穷小。
* **逻辑困难推动了数学发展。** 无理数带来的逻辑困难促进了形式逻辑与公理化演绎体系的发展，为微积分和集合论的诞生奠定了基础。
怜星夜思：
原文内容
两千五百年前，他因为发现了世界上第一个无理数而丧命，他是有记载以来第一位为了真理而献生的人——希帕索斯（Hippasus），而杀死他的恰恰是他所加入的学术团体——毕达哥拉斯学派。
毕达哥拉斯学派
这是公元前500年左右，由古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras)倡导成立的，集数学、宗教、政治于一体的秘密学术团体。他们有一个基本观点，认为：“万物皆数”。也就是宇宙万物都可以由数字来解释，而这些数字必须由整数来表示。
按现在的观点，这些“数”都是有理数，也就是：整数、有限小数和无限循环小数，因为后两者都可以表示为整数之比。
比如：
0.25=1/4
0.33333……=1/3
0.427427427……=427/999
该学派还有另一个重要发现，就是毕达哥拉斯定理（Pythagorean theorem），也就是我们的“勾股定理”：一个直角三角形，两直角边的平方和等于斜边的平方。
而希帕索斯（Hippasus）正是在研究毕达哥拉斯定理时发现：正方形对角线与边长之比等于根号2，这是一个无理数，无法表示成两个整数之比，它的发现更是直接引发了第一次数学危机。
发现了一个无限不循环小数，承认它的存在不就行了，为什么就引发数学危机了呢？
原来，毕达哥拉斯学派对“数”持有一种信仰，而这种信仰的基础是数学原子论观点。犹如当时的哲学观点认为：世间万物都是由最小的基本单位——原子构成的一样。
毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”的数字，也必然有最基本的构成元素，这个元素就是整数，一切数字都可以通过整数有限次加减乘除运算得到，唯有这样，世界才是和谐的，就像音调的和谐是由弦长的整数比决定的一样。
这也意味着任意两个数字应该都是可公约的（也就是能用两个整数相除来表示的），但是根号2的出现，颠覆了“万物皆数”的数学与哲学基础。
既然无法解释，就索性将这个发现掩盖起来，惊恐的学派成员将希帕索斯绑起来，沉入了爱琴海。
这次危机被毕达哥拉斯的另一位学生欧多克索斯（Eudoxus）暂时化解了，他化解的方式是：将这些不可通约量（无法用两个整数相除来表示的量）从代数中抽离出来，仅作为几何中，运用逻辑关系构造出来的量来使用。
这些观点都在欧多克索斯提出的比例论中，被收录在欧几里得《几何原本》的第五卷内。
虽然他的应对方法，只是绕开了无理数在代数中的运用，并没有真正解决无理数的问题。但两千多年后，戴德金从中受到了启发，给出了无理数与实数的精确定义。
1872年，戴德金通过戴德金分割给出了实数的定义
如果我们更进一步，会发现第一次数学危机的本质来自于：无穷。
因为按照“万物皆数”的观点，所有量只要能被通约，就应该都能被测量。
什么叫能被测量？
比如我们有一把长1cm的尺子，如何测量一条长5.1cm的线段，因为能找到一个很短的长度0.1cm，能同时整除1cm与5.1cm，尺子是精确的，所以这个很短的长度也是精确的，这样线段就能被精确测量，只要两个量存在公比，就能被测量。
但根号2这样的无理数，却需要不断地加细我们尺子的刻度，无穷无尽地去观测，依然无法找到那个精确的“公比”，这才是危机的本质。而这个无穷无尽的过程孕育了无穷小，也就是第二次数学危机的根源。
（第二次数学危机可详见往期文章：）
根号2还能写成这种无穷连分数的形式：
这也是一个无穷无尽的计算过程，我们称之为“递归”。所以它的值就相当于这个方程的解：
如果这个无穷连分数有精确值，那么再多加一层，不会改变它的值。
这是一个用自己来定义自己的形式，看过我之前视频的小伙伴，此时应该会有一种似曾相识的感觉。对！这就是“自指”，是罗素悖论与说谎者悖论的本质，也是第三次数学危机的根源。
（关于罗素悖论可详见往期文章：）
所以，历史上三次数学危机是一脉相承的，最早的源头就来自于两千五百年前发现的这个根号2，直到今天，数学危机带来的问题都没有完全解决。
由无理数产生的逻辑困难，让代数学的发展受到了限制，但却促使了形式逻辑与公理化演绎体系的大发展，催生出了亚里士多德的逻辑学与欧几里得的《几何原本》。
每次数学危机的产生，都是人类内省的开始。就长远而言，第一次数学危机，甚至间接促使了千年之后微积分与集合论的诞生，其影响不可谓不深远。
01
《数学悖论与三次数学危机》
作者：韩雪涛
了解数学悖论与三次数学危机，感知数学的趣味与变迁，知其然知其所以然。
本书介绍数学中的三大悖论（毕达哥拉斯悖论、贝克莱悖论、罗素悖论）与三次数学危机，以时间为序，以环环相扣的数学家轶事为纲，带大家了解数学发展史，理解悖论的巨大作用，以及认识欧几里得几何、无理数、微积分、集合论等的来龙去脉。
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