计算机科学、数学、统计学、生物学、神经科学，甚至哲学，都有贝叶斯公式的一席之地。应用非常广泛。
图灵至今已经出版了多本贝叶斯相关的图书，而《概率论沉思录》更是一本经典著作，它将概率和统计推断融合在一起，用新的观点生动地描述了概率论在物理学、数学、经济学、化学和生物学等领域中的广泛应用，尤其是阐述了贝叶斯理论的丰富应用，弥补了传统概率论和统计学的不足，并揭开了众多悖论背后的玄机。
来源 | 《贝叶斯的博弈》
作者 | 黄黎原
文 | 本书译者 / 方弦
这也许难以置信，一个小小的概率论公式竟然有着如此广泛的应用，其中一些甚至似乎与概率毫无关系。别的先不说，我们在决定晚上吃什么时，似乎也不会计算什么概率，那贝叶斯公式是怎么跟所有这些东西扯上关系的呢？
要理解这一点，就要先理解概率到底是什么。
我们在学校学到的是，在多次重复同一实验时，得到某个结果的比例会逐渐趋近于一个特定的值，它就是这个结果出现的概率。比如说抛硬币100次，可能有55次正面；抛1万次的话，正面可能出现4986次。但抛的次数越多，正面出现的次数就越来越接近一半，因此，正面出现的概率就是0.5。
根据已知事件的概率，我们可以计算其他更复杂的事件出现的概率，而我们在高中学到的概率，大体上就是如何去进行这样的计算。
但有些概率似乎不能这样解释。
天气预报里说“明天降水概率是40%”，但“明天”无法重复，这个概率的意义又是什么？更重要的是，我们学会了怎么根据给定的模型来计算概率，但从来没有人告诉我们这些模型从何而来。教材上说抛硬币正反面出现的概率都是0.5，但如果有人连续抛出100次正面，的确这种事情出现的概率不是0，这个人的运气可能真的好，但不会去怀疑这枚硬币有猫腻的，恐怕万中无一，也许我们需要换一种思路。
面对连续抛出100次正面，为什么我们会怀疑硬币有问题？
因为解释100次正面的方法，其实不止一种：我们可以假设硬币是公平的，只是这个人的运气特别好；或者硬币被动了手脚，比如两面都是正面。那么，这两种解释各自有多合理呢？
前一种解释下，100次正面出现的概率是2-100，大概是一亿亿亿分之一，一个非常小的数字；后一种解释下，要找一枚动了手脚的硬币不太容易，但可能性肯定远远大于一亿亿亿分之一。所以，我们的怀疑完全合理，这枚硬币多半有猫腻。
这种思路与我们在学校学到的概率方法恰好相反，与其在知道原因的情况下计算每种结果的可能性，我们做的其实是在已知结果的情况下，判断它由不同原因导致的可能性。正因如此，这类问题又被称为逆概率问题，而贝叶斯公式就是所有这类问题的解法。
而更为重要的是，我们不一定要等到第100次正面出现才开始怀疑。如果正面连续出现五六次，“运气好”这个解释也许勉强过得去，但在连续出现二三十次之后，我们肯定就从半信半疑变成极端怀疑了。
为什么？因为我们对两种解释的可能性会随着观察而不断变化，不断调整它们在我们心中的可能性。连续的正面越来越多，我们就越来越怀疑硬币是否公平。而从数学上来说，最合理的调整方法就是根据贝叶斯公式，从观察前的信心程度，根据结果计算观察后的信心程度。
吊诡之处就在这里：贝叶斯公式毕竟是概率论的公式，它计算的是客观的概率，怎么变成主观的信心程度了？
但也许这就是问题所在，不同的人对于同一事件发生的概率也许会有不同的看法。在抛第一次硬币的时候，对于毫不知情的旁观者来说，硬币很有可能是公平的，所以抛出正面的概率是0.5，但对于抛硬币的人来说，他早就知道硬币只能抛出正面，所以对他来说，这个概率是1。
为什么两个概率不相同？因为抛硬币的人比旁观者知道得多，拥有更多的信息。反过来说，即使是完全公平的硬币，如果我们知道空气中每一个分子的运动，知道硬币一开始的准确速度，知道桌面每一丝毫的起伏，那么原则上我们就能计算硬币抛到桌面上最后的朝向，结果不再是概率，而是完全注定。
可以说，正因为我们无知，所以才需要概率，用以衡量由于无知带来的不确定性。而贝叶斯公式，就是我们被迫在无知的黑暗中前行时唯一的指南针，用尽我们所知的一切，去尝试衡量未知，做出行动，而更重要的是从实际观察到的结果学习，合理调整我们对不同可能性的信心。
不仅有意识的行动如此，任何需要与外界相互作用的客体，无论是人、动物、植物还是机器，如果想要做出合理的决定，在某种意义上都需要利用贝叶斯公式，而这种利用甚至不需要主动的意识。书中提到，视觉处理、语言学习、股票市场，甚至生物演化，在某种意义上都是贝叶斯公式的具体应用。
但对于作者而言，贝叶斯公式更重要的不在于它的正确性，而在于如何具体实行。
贝叶斯
( Thomas Bayes 1702-1761 ）
在理想化的数学世界中，贝叶斯公式的确提供了唯一的答案，但在现实世界中，它的完美实现却几无可能，因为它的计算超出了任何计算机的能力，而这也是数学得出的结论。我们能做到的，就只能是利用尽可能少的资源，尽可能快的做到尽可能精确的近似。
自然界通过演化以及演化而来的神经系统，对不同类型的问题给出了不同的解答。而人工智能，也就是作者的主要研究领域，要做的就是从自然以及数学中提取经验，想方设法对贝叶斯公式指示的计算做出又快又足够好的近似。
也正因如此，书中包含相当多人工智能方面的研究内容，部分甚至相当深入。偏差-方差困境、数据的正则化、内生分层、KL散度、生成对抗网络、玻尔兹曼机、深度学习……这些都是书中仔细探讨的内容。然而，在作者的简明风格下，这丝毫没有减少这本书的可读性，反而有一种厚重感，也让我们看到人工智能领域对于数据处理与预测的孜孜以求，以及贝叶斯公式在其中的众多应用。
贝叶斯公式在哲学上同样给我们相当大的启发。化繁为简、兼听则明、从不盲信、合理怀疑，这些理性思考的注意事项，全都能在贝叶斯公式中找到解释。
不仅如此，贝叶斯的视角也对认识论产生了重大的影响。也许绝对的真理并不存在，存在的只有互相印证又互相勾连的理论，而不同的理论又被多方面的实践所验证。单一实验也许会出错，但众多实验的集合也许就提供了足够的理由，通过贝叶斯公式，使得我们对理论本身有着极高的置信度。
这就是所谓的“真理融贯论”，与其建基于可能并不存在的绝对真理，也许接受这种由概率与相互印证构成的真理更为实在。而书中贝叶斯公式的众多应用，又在各种不同的角度支撑了这种对世界的思考方式。
也许这本书最重要的启发，并不是什么具体的知识，而是贝叶斯公式中隐含的怀疑精神。本书作者写作的目的之一，就是梳理他自己对贝叶斯公式的思考。但在梳理过程中，他也发现，如果利用贝叶斯的眼光审视自己心中的信念，就会发现这些信念其实都来自外界，而我们之所以接受这些信念，也许并不因为它们是正确的，只是一时一地的偶然或者必然。
在书中，他详细地描述了对自己内心的审视。也许这也正是我们在这个信息爆炸的年代所需要的。
抛开固有的信念，直视世间合意或者不合意的一切，用最朴素的眼光，才能看到世界的本来面目。
《概率论沉思录》
作者：埃德温·汤普森·杰恩斯
译者：廖海仁
著名数学物理学家，圣路易斯华盛顿大学和斯坦福大学教授，统计力学和概率统计推断方面权谋埃德温·汤普森·杰恩斯，40年思想著作；
无数读者苦等15年的概率论神作，英文版豆瓣评分9.4高分；
概率论作为逻辑的延伸，是所有科学推断的基础。本书收集了概率统计的各种线索，将概率和统计推断融合在一起，用新的观点生动地描述了概率论在物理学、数学、经济学、化学和生物学等领域中的广泛应用，尤其是阐述了贝叶斯理论的丰富应用，弥补了传统概率论和统计学的不足，并揭开了众多悖论背后的玄机。
《贝叶斯的博弈：数学、思维与人工智能》
作者：黄黎原
译者：方弦
法国数学类科普书、大学数学参考及教材类图书畅销书目，在机器学习、人工智能、逻辑学和哲学等众多领域中，探索贝叶斯定理蕴藏的智慧与哲理。
贝叶斯定理一旦与算法相结合，就不再是一套枯燥的数学理论或认识论，而变成了应用广泛的知识宝库，催生了众多现代数学定理，以及令人称道的实践成果。
