数学不只研究数字，更训练人用逻辑与抽象识别关系、模式和结构。
冷月清谈：
怜星夜思：
2、问题二：数学里的抽象训练，真的能迁移到职场决策和社会议题中吗，还是容易变成过度简化？
3、问题三：数学教育该不该跳过部分机械计算，更早用生活案例介绍结构、关系和高层抽象？
原文标题：剑桥数学博士郑乐隽：什么是数学？
原文作者：图灵编辑部
原文内容
普通人看表象, 聪明人看关系，数学家看“模式”
只要你好奇“如何清晰而深刻地思考问题？”，这本书就是为你准备的。
无论是学生、职场人还是管理者，都需要敏锐的洞察力，学会处理复杂的问题、看清事情的本质、理解他人的真实想法。
这本书展现了一套人人都能懂的“抽象―模式―结构”范畴论式思考框架。范畴论被称为“数学的数学”，它塑造的思维核心不是定理和公式，而是让你内化一种以关系、角色、模式、普遍性质、等价和对偶等为基础的认知框架，而这正是深度思考背后的共通模式。
英国剑桥大学数学博士，谢菲尔德大学终身教职，畅销科普作家郑乐隽的这本《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》并不需要你太多数学，就能帮你从日常生活、家庭关系、社会问题等具体问题中形成一套崭新的数学观，培养一种结构化、关联性强的思考能力，并将之迁移到学习、工作与生活中，把自己的思维方式升级到数学家的“高阶版本”。
《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》
作者：[英]郑乐隽（Eugenia Cheng）
译者：张浩
1 什么是数学？
我把范畴论描述为“数学的数学”。因此，我最好首先更深入地描述一下我对数学的看法。如果一个人对数学的看法过于狭隘，那么“数学的数学”这种说法对这个人来说就没有任何意义。
数学不仅研究数和方程，也不全是在解决问题，这都是数学的某一方面。通常，学校教授的数学和面向非数学家的数学中会强调这些内容。学校里教数学往往从数和算术开始，接着学习方程，然后可能涉及三角学和几何学。三角学和几何学并不全是关乎数的，而主要是关乎形状的，然而，它们仍然涉及大量的数，以及计算角度、长度等问题，这些问题需要用数来表示。
人们在使用数学时，确实要大量使用数和方程来解决问题。通常，一些可测量的量以数来表示，还有将它们联系起来的方程，而任务是用可测量的量来计算未知的量。
至少，这是数学在我们这个世界中最引人注目、有目共睹的应用方式，所以我不会责怪任何人认为这就是数学的全部。但是，这背后还有更多内容——关于这些方法为何有效的理论。这个理论使我们能确保这些方法有效，并能改进它们，并发展新的版本来处理更复杂、更微妙的情况。这就像建筑的地基：你看不见它们，但如果没有它们，建筑就无法矗立。
每一个学科都提供了获得某种形式真理的一种途径。每一个学科都在寻求一种特定类型的真理，并发展出一种方法或框架，来决定什么算作真理。在这个信息过剩（实则普遍过剩）的时代，我认为理解这些方法和框架远比知道真理本身更为重要。
重要的是要知道如何决定什么应该被算作真理——如何建立良好的基础来支持我们的理解。我坚信，这种对过程和框架的理解是学习任何学科时，尤其是数学，最可迁移的知识。
2 孪生学科：逻辑和抽象
数学的框架包括逻辑和抽象这两个孪生学科。数学并不是唯一使用逻辑和抽象的学科，但我认为，它基本上是通过结合这两种方法来被定义的。
哲学使用了逻辑，但将其应用于生活经历的真实问题。艺术使用了抽象，但主要不是通过逻辑来建立其抽象。数学同时使用了逻辑和抽象：用逻辑来构建严格的论证，用抽象来确保我们在一个逻辑可以变得严谨的世界中工作。
这可能会让我们觉得，永远无法谈论“真实”（或更确切地说，具体）的世界，因为我们总是在一个抽象的世界中工作。虽然从某种意义上说这是正确的，但过于简化。抽象是具体世界的一方面，或者说是特定角度的视图。
虽然抽象永远无法给我们一个对具体世界的完整解释，但对具体世界某一特定方面的完整理解，仍然是有价值的。只要我们清楚每一个视图都只是局部的，就可以在这些不同的视图之间灵活地变换，以构建更清晰的图景。
这与直接研究具体世界的方法之间存在微妙的差异。在直接方法中，我们通常只能得到部分的理解，因为具体世界对于逻辑来说太杂乱了。下图说明了这种差异。
因此，抽象数学仍在研究世界，只是方式不那么直接。它的出发点是抽象，而抽象的出发点是遗忘情境中的一些细节。
3 遗忘细节
抽象就是深入情境，找出使其运转的核心。另一种理解方式是，剥离不相关的细节，或者更确切地说，剥离那些与我们当前思考无关的细节。那些细节可能与其他事情相关，但我们决定暂时不需要考虑它们。重要的是，这是一种对细节谨慎、可控的遗忘，而不是出于懒惰或想要将争论偏向某一个方向而草率地忽略细节。
如果有人说“女性在数学上不如男性”，那么他们忽略了关键细节，并造成了歧义，或者故意以误导的方式使用数据。这种说法在某种意义上有一定的真实性，比如，目前被聘为数学教授的女性数量比男性少，但这并不意味着有任何证据表明女性天生在数学上不如男性。这是对女性目前在数学领域表现不如男性这一事实的刻板表述。
然而，如果我们注意到一个苹果和另一个苹果放一起是两个，一根香蕉和另一根香蕉放一起也是两个，于是说一个东西和另一个东西合起来是两个东西，那么此时我们忽略的是“苹果”和“香蕉”这些细节，因为这些细节与“一个东西和另一个东西合起来是两个东西”的想法确实不相关。这就是抽象，也是数产生的原因。
数是我们最早遇到的抽象概念之一，但我们并不总是认为数是抽象的。这是一个好现象，因为这表明我们已经在头脑中提高了自己能接受的抽象水平。这就像事情一开始可能看起来很难，但后来会变简单，甚至变得自然而然。这都是我们进步的标志。
4 优点和缺点
在详细讨论我们如何进行抽象之前，我想先谈谈它的优缺点。只谈论做某事的所有优点可能很令人心动，但如果其他人看到了缺点，并认为你不诚实或有误导性，那可能会适得其反。相反，我认为重要的是看到一件事的优缺点，权衡利弊。一件事很少只有优点或只有缺点。
在我看来，抽象的优点在于，我们在一系列例子的包容性中统一了许多不同的情况。于是，我们能够把洞见迁移到不同的情况下，从而通过一次性研究许多事情来提高思维过程的效率。世界非常复杂，我们需要简化它，以便我们可怜的小脑瓜去理解它。
一种流行的简化方法是忽略一些细节，但我认为这是一种危险的简化方法。另一种方法是在其中建立联系，这样我们的大脑可以一次性处理更多信息。我认为这是一个更好的方法。总的来说，最好的方法是让自己变得更聪明，这样世界相对于我们的大脑来说就变得更简单了。
关于优点就说这么多，我现在要承认抽象的一些缺点。一个缺点是它确实需要一些努力才能实现，但我确实认为，这是为了以后从中获益而提前付出努力。我把这当作一种投资，早期的额外努力意味着我们以后可以用更少的努力更深刻地理解更多东西。
另一个缺点是我们失去了细节。然而，我认为这仅仅意味着我们不应该仅仅停留在抽象的世界里，而是应该始终记住在某个时刻需要回到细节。暂时失去细节是寻找情境之间联系的重要步骤，所以我认为综合来看，这是利大于弊的。
再一个缺点是，这会让我们远离自己习惯的日常世界，这可能会很可怕——我们好像不再脚踏实地了，因为我们不能触摸事物、感觉事物或看到事物，也不能使用一生都在用的直觉。然而，直觉本身就是一把双刃剑。无论是在数学还是在生活中，直觉对我们既有帮助也有阻碍。在我们没有足够信息或时间来运用逻辑的情况下，直觉通过快速提取我们的经验来帮助我们，但它也因此受到我们经验的限制。如果用直觉来代替逻辑，就可能产生危险的误导。
例如，当我们初次见到某人时，不可避免地会产生直觉，但错误的是坚持这种直觉，而不是在实际中进一步了解这个人，并做出回应。特别是，我们的直觉会被隐性的偏见扭曲，因为直觉（根据定义）总是如此。
同样，在数学中，对事物有直觉并不是错的，事实上，这是很多研究的开始。很多研究就是从数学家形象化的直觉中的某个模糊想法开始的，但关键是要用逻辑去研究它，而不是过于依赖直觉。
至关重要的一点是，在数学中，通过严格的逻辑来构建论证的框架能比我们的直觉更进一步。它可以把我们带到我们无法依靠直觉的地方，比如无穷维空间，或者在正常世界中没有具体解释的数字世界。例如，微积分的一个要点是理解是什么导致了图像中有趣的特征，比如间断点、尖峰、图像改变方向的地方。这意味着，即便因图像本身太复杂而无法绘制，我们也要寻找这些特征，因此我们不能仅通过视觉来寻找它们。
有人可能会反对这种“优点”，你可能会认为，你永远不会涉及完全超出自己直觉认知范围的领域。这可能是真的。但是，把你的大脑延伸到那些领域仍然对你的大脑有好处，这样你的直觉就能得到发展。
我确信，多年来以抽象的思考方式延伸了我的大脑，使我能够更清晰地思考周围的世界，并更容易地在各种情况之间建立联系，建立其他人看不到的联系。通常，当我对性骚扰、性别歧视、种族歧视、特权、权力不平衡等社会问题给出抽象解释时，人们会问我是怎么想到这些的。
答案是，我一直以来形成的抽象数学大脑使思考这些事情对我来说相当顺利。训练自己能够做比你自认为需要做的更多的事情，这是很好的，这样你在做需要做的事情时，就会感觉更容易。
我想说的抽象的最后一个优点是，它可以很有趣。在艰难的时期，有趣看起来有点不严肃，但如果我们只强调一件事的实用性，那它可能听起来非常没劲。我发现，剥去事物的外层去寻找其核心，能给人满足感。这符合我的审美，我通常对表面现象不太感兴趣，而是关心事物的内在深处，即远在表面之下的事情。抽象本身确实给我带来了很多快乐。
5 对实际事物进行类比
抽象来自看到不同情况之间的类比。这是遗忘细节的一种特殊形式，它基于寻找不同情况之间的联系，而不是随便忽略细节。
如果说，一种情况“类似于”另一种情况，我们本质上说的是，如果忽略在每种情况下的一些表层细节，那么这两种情况实际上是相同的。与在日常生活中不同，我们在数学中不会仅仅说这些情况是“类似的”，而是会非常精确地指出两种情况中的相同特征，这引出了我们想要考虑的类比。
考虑两个苹果和两根香蕉，我们可以认为它们是类似的，因为它们都是两个物体的实例。但是，我们也可以因为它们都是两个水果的实例而认为它们是类似的。这两者没有“对”或“错”，也没有“更好”或“更糟”。然而，我们可以说，“两个物体”是比“两个水果”更深层的抽象，因为它遗忘了更多的细节；反之，“两个水果”的说法不那么抽象，让我们更接近实际情况。
更抽象的表述使我们远离“现实”（不管那是什么），这样做的一个重要好处是我们能在类比中囊括更不同的例子。在上面这个例子中，我们还可以囊括两把椅子、两只猴子或两颗行星。
抽象在某种程度上就像更深入地去观察一种情况，但也像为了看到更广的全局而后退一步，而不是迷失在细节中。我们可以找到同一事物的不同抽象，这听起来会引起歧义，但实际上这是关键。我发现，绘制不同抽象层次的图很有帮助。
下面这张图显示了两个苹果和两根香蕉是类似的，因为它们都是两个水果，但如果我们进一步上升到两个事物的层次，那么两把椅子也能被纳入这个类比之中。
在数学中，关键在于不仅指出事物是类似的，也可以精确地说明类比的层次，然后更进一步，将其视为一个独立的对象，并对其进行研究。这就是进入抽象世界的方式，我们正是在这些抽象世界中“做”数学。在上面的例子中，这就是“两个事物”的层次：数的世界。
精确说明引发类比的原因，而不仅说出事物是类似的，这就好比“告诉某人田地间有一条道路”和“明确标记出道路位置”的区别。我记得小时候曾在英格兰东南部南唐斯丘陵起伏的群山中徒步旅行，我们翻过梯栏进入一片田地，一块小木牌会告诉路人，有一条道路通往那个方向，但实际上，木牌并没有告诉我们道路本身在哪里，于是我们总会走到田地的另一边，却看不到梯栏，因为我们已经偏离了所谓的“道”。
精确说明结构，而不仅是观察它的存在，这个想法我们后面还会探讨，特别是当我们以后做更细致的范畴论的时候。但现在最重要的一点是，精确说明事物有助于我们消除一些歧义，特别是因为同一情况总可能有不同的抽象。
6 同一事物的不同抽象
同一事物可能有不同的抽象，这看起来令人困惑，但在某种程度上这就是关键所在。抽象并不是一个良定的过程，也就是说，它可以产生不同的结果——这取决于你如何去做。（在数学中，“良定”意味着“无歧义地确定”，它并非仅含糊地表示定义给得良好。）这在日常生活中经常激起激烈的争论，因为如果只是断言某物与另一物“类似”，那我们是在哪个层次谈论，就产生了歧义。
于是，其他人可能会生气，要么说“这不一样，因为……”，然后指出你提出的两个事物在某些方面有所不同；要么说“这相当于说……”，然后援引某个不合理的抽象层次，含蓄地指责你使用了那个层次。在上面的例子中，第一种情况就好比有人说：“两个苹果和两根香蕉不一样，因为你不能吃香蕉皮。”第二种情况就好比有人说：“如果你认为两个苹果和两把椅子一样，那么显然你从未试过坐在苹果上！”
还有一个不太简单的例子。2018 年在美国发生的一起案件中，一些面包师拒绝为信仰不同的人烘焙蛋糕。我在网上看到有人（竟然）争辩说，如果他们应该为信仰不同的人烘焙婚礼蛋糕，那就好比要求犹太人为纳粹分子的婚礼烘焙蛋糕一样。我真心希望此刻你的直觉反应是：“那不一样！”但实际上，能够承认两件事在某种意义上是类似的，是很重要的事情，即使这种类比令人厌恶。我坚信，仅仅反驳“那不一样”没有用，采用更严密的逻辑来反驳，会更有成效。下面是一张建立类比的抽象层次示意图，区分了上述两个结论的不同层次。
我的博士生导师马丁·海兰（Martin Hyland）教会了我，在做抽象数学时，目标不应该是找到尽可能抽象的层次，而是找到适合你正在尝试做的事情的一个好的抽象层次。有人可能会说“各有所长”。
他还向我灌输了一个观念：用“从某种意义上……”来开头，因为数学不是关于对与错的，也不是关于绝对真理的。它关乎不同的情境，在不同的情境中，正确的事情可能不同；它也关乎不同的意义，在不同的意义下，成立的事情可能不同。数学中的抽象让我们所指的“意义”变得精确，这样一来，我们就能更有效地研究是什么导致了某些结果的出现，而不是挑起分歧和争论，无论是关于抽象理论，还是关于面包师。
最后，我们总是可以通过遗忘几乎所有细节来得到完全一样的事物，就像当我摘下眼镜时，一切看起来都同样模糊了。我们在生活中也是这样做的：有时，我们会宣称大家都是人类，所以我们都是一样的。这听起来可能是令人愉快的统一，但它也忽略了各群体为反对压迫、偏见、贫困、疾病等所做的斗争。另外，也有相反的趋势，人类分裂成许多不同的身份和身份的组合，以强调自己的独特经历。过分偏向任何一个极端可能都是无益的。有益的是，我们能够看到所有层次，保持足够的灵活性以便在它们之间变换，并从不同的层次中得出不同的洞见。
加法和乘法都是二元运算：接受两个输入，最后产生一个答案。起先，它们是关于数的二元运算，但是，随着数学在不同抽象层次上的发展，在其他类型的数学对象上，人们找到了定义类似加法和乘法的方法。
作为二元运算，加法和乘法有一些共同特征，比如，放置数的顺序无关紧要（即交换律），如何加括号也无关紧要（即结合律）。然而，加法和乘法的表现形式不同，例如，加法总是可以通过减法“撤销”，但乘法只在某些时候才能通过除法“撤销”——乘以 0 不能通过除法撤销。这有时被理解成“不能除以 0”，但我们稍后会对此提出一些更好的抽象解释。
7 数学层次的抽象之旅
随着发展，数学的各个方面变得越来越抽象。这是一个渐进的过程，我们通过以下步骤逐渐穿过抽象层次：
1. 观察到一些不同事物之间的类比；
2. 指出我们认为导致类比的原因；
3. 将事物视为一个新的、更抽象的、独立的概念；
4. 对那些新的抽象概念逐渐习以为常，不再认为它们有多么抽象；
5. 观察到那些新概念之间的类比；
6. 重复以上步骤……
认真地把抽象概念当作新对象，有一个优点：我们可以借此在抽象概念的基础上进行构建。下图展现了在基础数学中，一个初步抽象过程的例子。
这就是众所周知的“把数变成字母”的过程。许多人告诉我，这是他们能达到的数学极限层次。（事实上，在它之下还有一个层次，也就是我们首先从苹果和香蕉这样的对象中抽象出数。）为什么数变成了字母？这样做是为了让我们能够认识到那些在抽象层面上是正确的东西——无论我们使用哪些确切的数，都是正确的。例如：
这些情况中都发生着类似的事情，而我们不可能列出符合条件的所有数的组合，因为它们有无穷多。
我们可以用文字来描述：“当两个数加在一起时，结果与相加顺序无关。”但这有点啰唆。
简洁抽象的说法是：给定任意数 a 和 b ，有
a+b=b+a
我们已经“把数变成字母”，这样就可以一次性地对大量不同的数下结论，并精确地指出是什么模式导致了我们所看到的类比。这不仅更简洁，从而能更快地写下来（数学家一般非常懒，不喜欢重复写下冗长的东西），而且抽象的公式可以帮助我们更进一步，确定与其他情况的相似之处。
但还有一个更抽象的层次，这就是我们在上一节结束时要前往的方向。如果思考加法和乘法之间的相似之处，我们就会发现它们确实有一些共同点。首先，两种运算方式都是取两个数（在基本层次）并得出一个结果的过程。此外，这些过程都有一些能观察到的性质，比如交换律和结合律。
当我们称二者为“取两个数并得出一个结果的过程”时，这便是更深一层的抽象。这是加法和乘法之间的类比。
下图显示了这个新的层次，符号⊙代表一个二元运算，可以是 +、× 或其他类型的运算。在这张图中，抽象层次的提升过程多少复刻了孩子们的数学学习之旅。
在最下面一层，有你在幼儿园可能做的事，在那里，你把玩熟悉的物体并被逐渐引导去思考“数”是什么；在往上一层，是你在小学做过的算术；然后进入代数，我们在中小学多少学过一点代数；最高一层就是抽象二元运算，如果你在大学学了一些更高层次的数学，这就是在“抽象代数”课程中学习的东西。例如，群论会研究二元运算，这是我们稍后要回过头讨论的话题之一。顺便一提，我总觉得“抽象代数”这个术语相当奇怪，因为所有的代数都是抽象的。正如我所描述的，当我们越来越习惯于更抽象的东西时，甚至对于什么算作“抽象”的看法也会发生改变。
的确还有更高一层的抽象，不妨称之为“非常抽象代数”。在这个层次上，我们可以考虑合并两个事物的更微妙的方式，不再是取任何两个事物然后产生一个结果，而是像拼图那样，只能取恰好合适的两个事物合并在一起。例如，我们可以考虑乘坐一趟火车旅行，然后换乘另一趟火车完成更长的旅行——但这只有在第二次旅行的起点是第一次旅行的终点时才有意义，这样，你才能真正在那里换乘。这意味着，你不能随意合并火车旅行来得到更长的旅行，而只能合并那些一趟火车的终点和另一趟火车的起点恰好一致的旅行。
这就是我们在范畴论中合并事物的方式。二元运算也是这样的一个例子，但随着走向更高层次的抽象，我们现在能够包含更多比二元运算更微妙的例子。这几乎涵盖了数学的每一个分支，因为它们几乎全部（甚至就是全部）涉及以某种形式合并事物。下图展示了这一点，并包括了我们将在本书后面探索的一些数学主题。
我还把“生活”加了进去，为的是强调更高层次的抽象看起来离日常生活更远，但与此同时，更高的层次使我们统一了更广泛的例子，比如通常不包括在抽象数学中的日常生活中的例子。这就像荡秋千，如果你把秋千的绳子挂在更高的支点上，那么只要绳子足够长，你就可以荡得更远。
这也好比灯光从上方照射下来，如果你把灯举得更高，那么光线会变得不那么亮，但你会照亮更广的区域。这么做的结果可能更多是对大背景的概览和想法，而不是对细节的特写。然而，只要你保留上下移动灯光的能力，就不会永远失去细节。
此外，如果你能找到一种方法使灯本身变得更亮，那就能同时看到更多的细节和更多的背景。我认为这是变得更聪明的一个重要方法，抽象数学就能帮我们做到这一点。
“更抽象”不一定意味着更不相关，也不一定意味着更难。我们经常假设随着抽象层次的提升，事情会变得越来越难，因此在掌握上一个层次之前，我们不应该试图提升层次。但是，我认为这是阻碍一些人接触数学，或使他们远离数学的原因之一。
实际上，对于一些人来说，更高的层次可能反而更容易，要么是因为他们像我一样喜欢抽象，并从中获得满足感，要么是因为更高的层次包含了更多的例子，这些例子可能比较低层次的例子更具激励性。如果你停留在 a+ b的层次上，并且唯一的例子是把数加到一起，那么你可能会觉得整个事情很无聊，对自己也没有多大帮助。毕竟，有些东西很有趣，有些东西很有用，有些东西既有趣也有用，但那些既无趣也无用的东西实在是糟糕透顶。
我认为，我们应该停止将较低层次的抽象作为进入较高层次的抽象的前提条件。如果在更高的层次上，你可以处理生活中比数更让自己在意的例子，也许涉及了人和人性，那么更高的层次可能会更有激励性。另外，如果你喜欢建立联系、看穿表象、揭示真理，那么这些更高的层次不仅有用，而且有趣。
《用数学思考万物: 范畴论趣味入门》
作者：[英]郑乐隽（Eugenia Cheng）
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