菲尔兹奖得主广中平祐逝世，他提出的“可变思考”模式，强调通过增加变量和维度来解决复杂问题，为我们提供了独特的解题视角。
原文标题：菲尔兹奖得主广中平祐逝世，他的人生不断践行：增加一个变量，提高一个维度
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章中提到“复杂的现象其实是简单现象的投影”，你如何理解这句话？你能想到哪些例子可以佐证这个观点？
3、文章最后提到，即使面对无法避免的突变，了解形成影子的本体也可以帮助我们巧妙应对。你认为在现实生活中，我们应该如何培养这种“了解本体”的能力？
原文内容
2026年3月18日，日本京都大学数理解析研究所发布消息：日本数学家、菲尔兹奖得主广中平祐教授去世，终年94岁。
广中平祐是20世纪代数几何的先驱之一，现代数学发展的重要推动者。1970年，他因解决代数簇的奇点解消问题，获得“菲尔兹奖”。
图灵先后引进出版了他的两本著作《数学与创造：广中平祐自传》《可变思考：数学与创造性思维》，收获了广大读者的喜爱。
在新书《可变思考：数学与创造性思维》中广中平祐从自己的数学研究中总结出一种思考模式——“可变思考”。这一思维曾助力广中平祐解开过多个无人能解的难题，甚至还启发过企业经营领域的稻盛和夫。这是这位大师留给我们的宝贵思想。
来源 | 《可变思考：数学与创造性思维》
作者 | [日]广中平祐
译者 | 佟凡
选自章节 | 可变思考带来创造性
01
自由意志和可变行为
在我提到“可变”时，本质上对应的是数学中的“变量”。请大家回忆高中数学课上学过的变量，变量通常设为x、y等代表数的字母，可以取各种各样的值，与只能为一个值的“常量”性质相反。
因此，如果将数学领域中的“可变”（变量）构想应用到更广阔的领域，那么就可以为“自由变化”与“自由状态”提供“可变”这一保证条件。甚至可以说，所谓自由思考，就是能够实施“可变”的行动。
让我们再来看看“变量”与思考、行动之间可能存在的关系。“变量”中有“独立变量”（自变量）的概念，它与“孤立”的意思完全相反。一般情况下，独立是指“不依靠其他因素，不受其他因素约束和支配”，而孤立是指“①得不到帮助，只能自食其力；②没有对立面”（参见日本的《岩波国语辞典》）。尽管这两个概念并非完全对立，不过在数学领域则表示完全相反的含义。
也就是说，独立变量是指可以自由赋予任何值的变量，既不会影响其他变量，也不受其他变量的影响。而数学领域的孤立指的是严格受到条件制约，无法摆脱条件限制的状态。
因此本书中的可变是指自由度高的独立变量。由于独立变量不受其他条件约束，因此我们可以同时考虑多个不同变量，这就是多维度的思考方法。
以交通工具为例来解释这件事，就比较浅显易懂了。
首先是火车。因为火车沿轨道运行，所以只能前进、后退或停止，它属于一维交通工具。
在其基础上，加上前后左右的移动方式，就变成了二维世界，这就是汽车、自行车等交通工具的移动方式。如果前方有一块大石头，二维交通工具就可以通过左右移动来避开；如果道路拥堵，二维交通工具还可以绕路而行。
尽管“越轨”这个贬义词指不端行为，但它在数学领域中则意味着“多维”。举例来说，东京在用现在的公交车取代都电（东京都电车的简称）轨道电车的过程中，曾经有一段使用无轨电车的时期。无轨电车和都电一样，需要通过触电杆连接空中的电线获取动力，不过它没有轨道。
在前后左右移动的基础上再加入上下移动，二维就变成了三维。这相当于交通系统中的立交桥，它解决了前后移动与左右移动的交通工具在交叉时产生的矛盾。
平面中前后与左右交叉导致的矛盾，如果想在平面中解决的话，那么可以增加时间维度。
时间差攻击是排球比赛中一种为大家所熟知的战术，在平面道路上，可以利用道口等阻断器强行制造时间差，或者将轨道交叉的位置设计成菱形排布来制造时间差。
当然，通过组合时间与立体世界，还可以创造出更多维度的世界。
02
不要舍弃，尝试继续添加
当你遇到某个复杂问题，因为需要考虑各种无关因素而烦恼时，一种思考方法是“舍弃所有无关因素”。
与此相对，还有一种思考方法是在处理复杂问题时“做加法”。该方法与“增加一个变量，提高一个维度”有共通之处。
举例来说，建高速公路时，两个工程组的意见有冲突，一组要建东西向，一组要建南北向。此时，通过舍弃能解决的问题是消除施工路径中凹凸不平的岩石和丘陵等障碍。这类问题只需要挖走岩石，在丘陵里挖隧道就能解决。
然而，依然会存在通过舍弃无法解决的问题。无论选择什么样的路径，东西向的道路和南北向的道路至少会在一点交叉。解决该问题的方法是建造立交桥。如果仍然在平面上思考该问题，那么不管花多长时间都无法解决，只有加入“上下”这个因素才能想出解决办法。
我凭借“奇点解消”理论获得了菲尔兹奖，使用的方法就是增加新变量（观点）将复杂的问题简化。也就是说，我提出的理论是，复杂的现象其实是简单现象的投影。突出、不连续的奇点，怪异复杂的图形，其实都是由极其普通的物体投下的影子重合而成的。
03
复杂事物是简单事物投下的影子
用数学领域的说法来说，解消奇点，只需要增加参数就好。在我的理论中，要想解消n维奇点，只需要在原本的维度中增加n+1 个新参数即可。
参数是有刻度的独立变量，增加参数可以说就是增加变量。参数之所以叫作参数，是因为这不仅强调了它拥有变量的自由度，还强调了它可以作为刻度来衡量的一面。
现在，让我们从相反的角度看一看我经常使用的立交桥例子。高速公路在地面上投下影子就会形成交叉点（奇点），然而实际上道路并不交叉。那是忽视“上下”这个参数后导致的奇点，只要增加上下视角，看清道路真实的样子就能解消奇点。
再举一个例子，如果非要将一栋二层的房子画在一张平面图上，而一楼和二楼的洗手间位置又相同的话，那么在平面图上就只能看见一个洗手间。不过，在增加了高度这个参数的侧面图上，就能清楚地看到两个洗手间了。
乍一看不合理或没有逻辑的事情，很多时候是因为我们自顾自地看漏了某些因素。比如完全不考虑对方的处境，认为自己全心全意为对方着想，结果却落得糟糕的下场——这在你自己的角度来看似乎不合理，但是在充分了解你和对方的第三者眼中，这或许是非常自然的结果。
当突变发生时，有一种思考方法，即假设突变发生在一个能够用因果律解释全部事情（突变带来的问题）的世界中，它投下的“影子”就是现实中实际出现的问题。当然，也有一种立场认为，确实可以认为我们生活在复杂投影之中，但仅仅假设投影的本体存在，单纯去思考那个本体，并不能解决现实中的问题。
然而哪怕是坚持现实就是现实的人，一旦失去了构成人类本质的“自由精神”，也会立刻陷入自己勒住自己脖子的困境。能够从容地重新思考以下问题，是非常重要的。
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是否是突变理论引发了新的突变，让问题越来越严重？
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是否问题并不是真的突变，在更高维度中有完美的解决方法，只是自己不小心看漏了？
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就算真的出现了现实中无法避免的突变，只要能够了解形成影子的本体，就可以深入理解，巧妙地应对该问题，而自己是否破坏了这种可能性？
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重新从更高维度的视角看待现实中的突变，或许能够意外找到某种方法，去充分利用造成突变的推动力，而自己是否看漏了这种方法？
面对困难的问题，当做减法无法解决问题时，或许可以通过增加一个参数，让我们原本认为没用的方法变得有用，避免我们原本认为无法避免的冲突。
《可变思考：数学与创造性思维》
作者：[日]广中平祐
译者：佟凡
日本数学大家、菲尔兹奖得主广中平祐著作！稻盛和夫力荐，呈现数学家观察事物的独特视角与思考方式。
1.稻盛和夫力荐，日本累计销售10万册！
2.菲尔兹奖得主理解“复杂”与“变化”的巧妙视角，用数学的智慧探索创造力的本质
3.讲述创造性思维的本质与根源传授学习、研究、教育中的创造性思维的模式与方法
01
《数学与创造：广中平祐自传》
作者：广中平祐
译者：逸宁
菲尔兹奖、日本学士院奖、日本文化勋章得主日本数学大家广中平祐亲笔自传
作者以解决“奇点解消问题”的故事为线索，讲述了自己如何学习数学、走上数学研究道路的历程，分享了在挑战数学难题过程中的思考方法与感悟，并就“数学与创造”“创造与情绪”“分析与大局观”等话题做了深入阐述。