远山启带你深入理解微积分：它不仅是笛卡儿思想的完美应用，更是连接万有引力与开普勒定律、预测天体运动的强大工具。简单构想，改变世界！
原文标题：远山启：微积分究竟是什么？
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、牛顿和莱布尼茨为了微积分的发明权争吵，这在科学史上并不少见。你觉得这种为了“抢先发表”的科学竞赛，对科学发展是正面影响更大，还是负面影响更大？科研成果的署名权、优先权到底有多重要？
3、文章里提到微积分让科学具备了预测未来的能力，比如日食。但又说“一般的现象并不像太阳系天体的运动那样单纯，所以无法精准预测。” 这让你想到什么？在现代科技高度发达的今天，我们预测能力还有哪些局限性？比如天气、经济、社会趋势等，微分方程真的能解决一切吗？
原文内容
教育所必须做的事情之一，就是教会学生如何从众多方法中选出最便于思考的那种方法。这里说的便于思考，并非仅指对于孩子来说方便使用，更重要的是，孩子在将来也能独立使用同样的思考方法。也就是说，作为教育者的成年人，应当去寻找具有发展性的思考方法来教授，这是教育的一项重要任务。
这套《数学与生活》是日本数学教育改革之作，旨在还原被考试扭曲的数学，为读者呈现数学的真正容颜，消除应试教学模式带来的数学恐惧感。一经上市，就受到广大读者的喜爱，累计畅销20万册，更是得到了科普作家，得到APP讲师卓克老师的大力推荐！
终于，在无数读者万众期待中，最新一本的《数学与生活5：数学的历史、现代与方法》上市了！这本虽是数学史的写作，但却区别于一般的数学史，作者独创性的将数学划分为古代数学、中世纪数学、近代数学、现代数学，以生动的讲述方法清晰呈现了数学的发展脉络，并结合日常经验讲述了诸多数学概念与思想的来源与发展。
此外，本书还通俗地讲述了现代数学中的重要概念与方法，引导读者对数学产生更深刻的理解。
下文节选自书中【近代数学】
01
微分与积分
微积分究竟是什么呢？简单来说，这种方法就隐含在前文所述的笛卡儿四条原则中的第二条和第三条中。第二条原则是，研究复杂问题时，要尽可能地将其分为若干小部分，让难题变简单。这就是分析。
我们再读一下笛卡儿这句话：“对于我要研究的每一个难题，在必要的限度下将其尽可能多地分割为若干小部分，以便更好地解决它们。”这其实就相当于微分。微分如其字面之意，就是将事物分割为若干微小部分。
笛卡儿的第三条原则，则恰好对应积分，即将细致分割出的部分再次连接组合起来。微分相当于分析，积分则相当于综合。积分这个词，其实有把分割出来的部分积累起来的意思，是个非常巧妙的词。
过去，微积分被认为是非常难的东西，但其实从某种意义上说，微积分是一种非常简单的思想。有一些观念认为微积分晦涩难懂，但其实微积分的思考方法是极其自然的，我们甚至可以完全按照微分、积分的字面意思去理解。
有人觉得以前没多少人懂微积分，但实际并非如此。只不过，过去的微积分在微分上关于无穷分割的那部分内容有一点不同。这部分内容说难的话确实有些难度。在过去，有种说法将微分按照其字面意思称为“微微略懂”，把积分则称为“积而则懂”，不过这些都是玩笑话，现在已经没有这些说法了。
例如，大家都知道，今天的高中教学中有关于微分的内容，就是图 1-1 中关于曲线的一些内容。
如图 1-1 所示，该曲线直接来看的话是弯曲的，但是如果对其进行细致分割，然后取其中一部分进行观察，分割出的部分就近似于直线了。分割得越精细，其分割出的部分越接近直线。
曲线是一种非常复杂的东西，但直线非常简单。通过分割，将复杂的曲线近似为简单的直线，这种构想就是微分。虽然不断“近似”的话会出现很多麻烦的事情，不过这种想法本身是非常简单的。
用放大镜观察曲线的一部分，我们也能发现这部分会变得接近于直线。如果使用显微镜这种高倍率的观察设备来看，会发现其更加接近直线。如果使用电子显微镜看的话，会发现它几乎就要变成直线了。
总之，使用倍率越高的显微镜观察曲线，所看到的曲线就越接近于直线。这其实就是微分的构想，没什么特别之处。之所以要把曲线近似为直线，是因为直线是非常容易处理的对象。不过，当我们不断提高显微镜的倍率时，虽然观察到的部分
会越来越精细，但相应地，我们的视野也会越来越狭小，这是这种方法的一个缺陷。我们只能看到观察对象的一小部分，观察的范围会越来越小。为了弥补这个缺陷，我们可以将观察到的细小部分连接、组合起来，这样就能看到整体的情况了。这种连接、组合就是积分。如果我们明白了这些事情再来学习微积分，就会明白微积分的思考方法是极其简单的。
02
牛顿与莱布尼茨之争
历史上，微积分的发明者有两个人，牛顿和莱布尼茨（1646 —1716）。这两人都生于 17 世纪中叶，逝于 18 世纪初期。可以说，微积分便是在这个时期被创造出来的。
一个比较有名的故事是，牛顿和莱布尼茨曾就“究竟是谁先发明的微积分”一事而争吵。这是数学史中的有名事件，但如果从时间上来说的话，无疑是牛顿先发明的微积分。
莱布尼茨比牛顿的年纪要小，学习数学也远晚于牛顿。在牛顿发明微积分十几年后，莱布尼茨也独立发明了微积分。这时，如果从牛顿这边来看，仿佛是莱布尼茨盗取了他的成果，所以牛顿也对此颇有微词，称其为“剽窃”行为。
对于牛顿的反应，莱布尼茨非常生气，并且进行了反击。不过，牛顿与莱布尼茨之争，应该是在微积分创立之后很久才出现的。最开始的时候，牛顿与莱布尼茨的关系非常好，经常互相写信。
牛顿也曾在给莱布尼茨的一封信中说道：“发明微分与积分者，唯有你和我。”但是，后来牛顿却指责莱布尼茨剽窃了他的成果，这是非常奇怪的事情。
为什么会如此呢？我个人的看法是，牛顿与莱布尼茨两个人在最开始发明微积分时，并没有觉得微积分是什么了不起的东西。
他们觉得微积分这种平凡之物，是你发明的还是我发明的，都没什么关系。所以，牛顿留下了对他之后的主张十分不利的证据，那就是承认过莱布尼茨也发明了微积分这件事。
如果牛顿从一开始就认为微积分的发明者是自己的话，那么就不会留下这个证据了。而且，他也应该会尽快公开发表相关的成果。牛顿发明了微积分，但在很长的一段时间内没有公开发表成果，所以才导致了争端发生。
明明只要公开发表，就能避免这一问题，那为什么牛顿迟迟没有做呢？牛顿可能觉得微积分实在算不上什么了不起的东西，由此我们也能看出，仅从构想上来看的话，微积分的方法确实是很简单的东西。
不过，后来微积分发展成了一门学问，那时的牛顿和莱布尼茨或许都察觉到这将是非常厉害的力量，所以他们二人都有了些想法，想主张是自己发明了微积分。因此，也就有了后来的争吵。
03
微分与积分的力量
从某种意义上来说，微积分确实是非常简单的思考方法，而这种简单的思考方法却发挥出了惊人的威力。在数学中，能发挥如此威力的构想并不多见。
其实，只要稍微学过一点微积分的人，就能知道其重要性。假如没有微积分，现代数学可能只能发展到现在程度的三分之一左右。
同样，如果没有微积分，现代天文学、物理学也都会失去其体系中的重要支柱，像如今这种程度的发展也无从谈起。可以说，如果不使用微积分，那么自然方面的研究几乎无从下手。
然而，微积分这么重要的东西，其思考方法却简单至极，只不过是对笛卡儿四条原则中的第二原则和第三原则的一种完美应用而已。
简单来说，微积分相当于帮助我们观察种种现象的“精巧镜头”。如前文所述，对于弯曲的东西，用微分这一“镜头”就能将其近似为直线，从而使得研究难度大幅度降低。
微分这一“镜头”，就相当于显微镜，能让我们观察到非常细小的部分。积分则是将这些细小的部分连接、组合起来，让我们将研究对象再次视为曲线来理解。
先分割再连接组合，微积分就是这么简单的构想。如果没有微积分，我们就无法研究太阳系的各个行星是如何围绕太阳运动的，也就无法发现太阳系天体的运动法则。
为了解决太阳系天体运动这个在当时来说至关重大的问题，牛顿构想出了微积分这一方法。前文中曾提过，牛顿将伽利略、开普勒的研究连接了起来，创建了牛顿力学。
行星具体是怎样运动的，其实在牛顿出生之前，开普勒就已经研究清楚了，并创立了今天所说的开普勒定律。
04
开普勒定律
开普勒自己虽然没有进行天文观测，但他的老师天文学家第谷·布拉赫（1546 —1601）是当时非常有名的天体观测研究者。
也就是说，开普勒推导出行星运动的三条基本定律，靠的仅仅是第谷积累的庞大的天文观测数据。当时还没有望远镜，天文观测要靠肉眼来观察星空，而开普勒的眼睛不太好，无法观察星星。总之，开普勒是从前人的观测数据中推导出了行星运动的三条基本定律。
虽然有许多行星，但开普勒首先研究的是火星的运动规律。火星紧邻地球，位于地球的外侧。开普勒第一定律指出了火星的运动规律，即火星以椭圆轨道围绕太阳运动。椭圆有两个焦点，太阳就位于椭圆轨道的其中一个焦点上。“所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆的，太阳处在椭圆的一个焦点上。”这便是开普勒第一定律。
开普勒第一定律虽然搞清楚了行星运动的轨道，但无法确定行星在轨道上的各个点处以何种速度运动。于是，为了解决这个问题，开普勒第二定律就诞生了。
如图 1-2 所示，假设我们将太阳和火星用线连接起来，那么此时火星的运动就如同汽车前挡风玻璃上的雨刮器那样。这个火星与太阳之间形成的“雨刮器”，其扫过的面积在相等的时间内总是相等的。因此，它也被称为“面积定律”。
如图 1-2 中的情况所示，由于火星与太阳的连线扫过的面积总是恒定的，因此可以得知火星在远离太阳时，其速度会变慢；靠近太阳时，其速度会变快。开普勒第二定律虽然写在纸上只有寥寥数语，但其发现过程非常艰辛。
行星的运行轨道是椭圆的，这其实也是一个突破性的发现。在开普勒之前，大家都以为行星的运动轨道是圆的。但通过对观测数据的长期研究，开普勒逐渐注意到行星的轨道似乎像被轻微地挤压过的圆一样。
圆被轻微挤压就是椭圆，于是开普勒提出了相应的假设，并通过观测数据证实了这个假设。提出假设是科学研究中经常使用的一种方法，大部分假设可能都不成立，但也有偶尔成立的时候。我们从结果上来看，似乎是研究者直接把成立的假设发表了出来，但在科学研究中，几十个、几百个假设中可能才有一个是成立的。
开普勒就经历了这种艰辛的探索过程，他在庞大的观测数据中苦心孤诣，花费了非常长的时间才发现了开普勒第二定律。
开普勒第三定律的发现也经历了相当长的时间，与发现第二定律之间相距约有 10 年。第三定律描述的是行星轨道的大小与其公转时间之间的关系，具体内容是“行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比”。这个定律，对于围绕地球运动的人造卫星也是成立的。
有了开普勒第一定律和第二定律，至少就可以确定某个行星的运动情况。如果我们将其翻译为瞬间运动的定律，也就是对其进行微分的话，情况会如何呢？如果不持续观察行星完整公转一周，就无法用开普勒定律确定其运动情况。
也就是说，如果没有对火星运动的长时间持续观测，那么就无法把握火星的运动情况。那么，有没有方法能在非常短的时间内确定其瞬间运动的情况呢？这时就需要使用微分，使用微分就可以把握行星的瞬间运动情况。
用微分表达的行星瞬间运动情况，也与牛顿的万有引力定律相合，即太阳和火星互相被引力吸引，这种引力的大小与二者距离的平方成反比。
牛顿的万有引力定律与开普勒定律在本质上是相同的，只不过表达的方式不同。开普勒定律需要观察行星公转的整体时间才能确定行星的运动情况，牛顿的万有引力定律则是把握天体瞬间运动的定律，二者在这一点上是大不相同的。
05
微分、积分与牛顿力学
牛顿的万有引力定律也可以看作微分定律，即在无穷小的时间中、在无穷小的空间范围内进行观察的定律。牛顿的万有引力定律是关于力的定律，即力与加速度成正比。这里的加速度，就需要在无穷小的时间中、在无穷小的距离之间进行观察，才能计算出来。
所以从这个意义上说，牛顿的万有引力定律可以说是微分定律，而开普勒的定律则可以说是积分定律。牛顿用微分定律重写了开普勒的积分定律。如果将牛顿的微分定律还原为积分定律，则与开普勒定律完全一致。
也就是说，将开普勒的积分定律用笛卡儿的第二原则进行细分，就得到了牛顿的万有引力定律，而将其再次连接、组合起来的话，又会得出原来的开普勒定律。
积分定律与微分定律在本质上是相同的，二者可以相互转化，仅仅是表达方式不同而已。不过，从难易程度上来说，微分定律要更加容易操作，也更简单。
如果仅仅是考察火星的运动情况，那么使用开普勒第一定律和第二定律所构建的体系还是可以应对的。但是，如果要考察其他行星（比如土星或木星）的运动情况，并将其纳入第一定律和第二定律的体系中，那么无论如何都需要开普勒第三定律。将越多大小不同的行星纳入开普勒的体系中，对第三定律的需求就会越高。
像开普勒这样悲惨境遇的人，在科学家中也是少有的。当时的德国正处于相当于日本战国时代一样的乱世，如果大家读过《猎巫》一书就会多少了解一些背景。当时，开普勒的母亲经受了“女巫审判”，遭受了残忍的刑罚。开普勒为了救他的母亲，也吃尽了苦头。
可以说，开普勒的一生几乎都是在苦难与贫困中度过，但他在这样的人生中依然为世人留下了开普勒定律。开普勒定律虽然写在纸上不满一页，但它是科学史上第一级别的重要发现。
如前文所述，牛顿用近乎完美的定律描述了太阳系中太阳与行星之间的运动规律。牛顿的万有引力定律问世后，科学不仅仅能用来说明过去到现在的现象，甚至变得可以预测未来了。
例如，科学可以预测下一次日食将于何年何月何日何时何分开始，其过程将历时几分钟几秒。像科学所具有的这种预测能力，是可以进行实证的，而这正是科学的独特魅力，也是牛顿力学所带来的强大威力。因此，牛顿力学的诞生，让科学发生了重大变化。
牛顿时代的人，恐怕对这种天翻地覆般的转变大为吃惊。科学能这样精准地预测未来，这让当时的人们觉得科学已经变得无所不能。
虽然有些夸张，但这种思潮还是自然而然地汹涌而至。其实，从某种意义上来说，太阳系的运动规律是极其简单、单纯的，所以其未来的情况才能被预测到。
但是，一般的现象并不像太阳系天体的运动那样单纯，所以无法精准预测。例如，纸片会以何种方式掉落，这个过程其实非常复杂。不过，牛顿力学中所使用的数学工具可以解决这类问题。
这种数学工具便是微积分，特别是其中的微分方程。使用微分方程，我们可以对复杂现象进行分析和预测。有人认为，世间万物似乎都可以用微分方程来进行分析和预测。虽然有些夸张，但“数学是万能的”这一观点自然而然地出现了。由此也能看出，牛顿力学给当时人们的认知带来了怎样的巨大冲击。
天体的运动非常单纯，所以才能进行精准预测。越是对于类似天体运动这种单纯的情况，微积分越能发挥出强大的威力。
以笛卡儿为起点的近代数学，其中心便是由牛顿、莱布尼茨创立发展而出的微积分。如前文所述，微积分相当于精巧的相机镜头，能帮助我们观察各种现象。与玻璃制成的相机镜头不同，微积分的这种“镜头”能让我们细致地观察世界，并且对世界中的现象进行预测。与古代、中世纪的数学相比，近代数学的威力可谓大幅增强。
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