数学史揭示古文明智慧：古埃及几何与巴比伦六十进制，影响至今。
原文标题：终于有一本小学生也能看懂的数学史著作了！畅销60余年，加印70多次！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
文章特别推荐了日本数学家矢野健太郎的经典著作《一口气读完的数学史》，该书60余年畅销不衰，以平易近人的方式，精简地勾勒出数学发展的重要历程，包括从史前计数到零的发现、方程、对数、解析几何及微积分等重大突破，极其适合不同年龄段的读者。
文章节选了《古代数学》章节，详细介绍了古埃及和古巴比伦的数学智慧。古埃及人受尼罗河泛滥影响，发展出天文学（确定365又1/4天）和几何学（“司绳”丈量土地）。通过罗塞塔石碑与《莱因德纸草书》，我们了解到古埃及的记数系统（基于十进制，并用棍棒、绳结等符号），以及独特的单位分数运算、用于解题的“假设法”，并得出圆周率的近似值约3.1604。
古巴比伦人则在底格里斯河和幼发拉底河区域，利用黏土泥板和楔形文字记录，其数字系统混合了十进制和六十进制，后者因一年360天、圆周360度的概念而备受推崇，对现代计时和角度计量仍有深远影响。他们还发现了等差数列和等比数列及其求和方法。
文章最后简略提到了古希腊数字系统，其特色是五进制与十进制并用，并使用古希腊词语的首字母来表示数字。这些古老的数学成就为后世数学发展奠定了坚实基础。
怜星夜思：
2、文章提到了古埃及和古巴比伦的数字系统都有十进制和某些特殊进制（古埃及的单位分数，古巴比伦的六十进制）并用，你觉得这种“混合”的记数方式在实用性上有什么优缺点？如果让你设计一套更完美的古代记数系统，你会怎么改？
3、学数学的时候，了解这些数学史知识对你来说有什么特别的帮助吗？比如在理解某个概念、或者培养兴趣方面？你觉得现代的数学教育应该怎么更好地融入数学史元素，才能让学生更爱学数学？
原文内容
数学学习的重要性已经不言而喻。而数学史的认识也逐渐被大家所重视。
数学学习赋予我们认识世界、改造世界的强大理性工具和思维能力；数学史学习则赋予这些工具和思想以灵魂、温度和深度，让我们理解数学作为人类伟大文化成就的来龙去脉、内在动力和人文价值。 两者结合，才能培养出既具有强大逻辑分析能力和解决问题能力，又具有深厚人文素养、批判性思维和历史视野的全面发展的人才。
忽视任何一方，对数学的理解都是不完整的。因此，在数学教育中融入数学史，或在学习数学时主动了解其历史背景，是深化理解、提升兴趣、培养健全数学素养的关键途径。
数学史庞杂而悠久，却又深刻凝练，如果用一个轻松易读的短的篇幅讲清数学史呢？
日本著名数学家矢野健太郎就曾写过一本书，用短小的篇幅讲清楚了数学史的重要发展历程。从史前时代人类对数的认识起步，到逐渐形成五进制、十进制、二十进制等记数方法的过程，再到数学史上的重要转折点，如 0 的发现、方程的发展、对数的诞生，以及解析几何、微积分等重大突破。以及拓扑学、集合和概率论等不同领域的拓展。
因其平易近人，却又能以精简的篇幅，将纷繁交错的数学分支框架搭建起来，而广受赞誉。上市60余年，重印70多次，成为历久弥新的经典著作！
01
古埃及数学
预防洪涝灾害的天文学
众所周知，人类的历史，尤其是人类的早期文明往往起源于大河流域，例如古埃及的尼罗河、古巴比伦的底格里斯河和幼发拉底河、印度的印度河和中国的黄河等。
住在尼罗河下游的古埃及人每逢雨季都会遭受洪水泛滥带来的灾害，但同时洪水也会把上游的肥沃土壤带到下游，所以洪水所经之处都变成了非常利于农作物生长的土地。尼罗河流域也因此成为世界文明的发源地之一。
古埃及人的第一要务是预防尼罗河带来的周期性洪涝灾害。据说他们通过观察天体的运行规律研究天文学，从中确定了一年的天数为 365 又 1/4。
司绳与几何学的起源
由于执政者下令必须根据洪水受灾程度调整税收，因此古埃及的计算技术也随之发展起来。
因为每次洪水泛滥都会冲毁划分好的田地，所以古埃及人不得不在洪灾后重新确定他们的田地边界。他们学会了使用绳子测量土地的方法。操纵绳子的测量师叫作“司绳”。
如今，几何学的英文是 geometry，该单词中的 geo表示土地，metry 表示测量。这就是几何学的起源。我们可以从罗塞塔石碑和《莱因德纸草书》中找到古埃及数学的相关线索。
罗塞塔石碑上的神秘文字
1799 年，拿破仑率军在古埃及远征时期，一名法国工兵在挖掘圣朱利安的要塞时，发现了一块刻有神秘文字的石碑。这名工兵认为石碑表面刻的可能是古埃及文字，于是将其列入了法国的战利品。
然而，两年后的 1801 年，拿破仑大军被英国打败，这块石碑又落到了英国军队的手里，至今仍保存在大英博物馆。因为这块石碑是在尼罗河三角洲的罗塞塔港湾附近发现的，所以被人们称为罗塞塔石碑。
尽管人们发现了这块蕴藏古埃及文化的石碑，但当时没人知道石碑表面所刻的神秘文字是什么意思。直到 1814 年，英国医生、物理学家托马斯·杨（1773—1829）开始研究罗塞塔石碑上的文字。经过数年的钻研，托马斯·杨解读出其中大约 100 字的内容。
后来，法国考古学家商博良（1790—1832）经过多年努力，于 1824 年破译了石碑上的所有文字，历史为这一刻等待了 20 余年。
1 至 9 的记数符号
下面我来介绍一下古埃及人使用的数字。如下图所示，他们用一个棍棒状的符号表示 1，然后罗列出相应数量的棍棒状符号来表示 2 至 9。
10 至 90 的记数符号
当需要表示 10 的时候，就要引入新的符号
了。表示 20 至 90 时只需罗列相应数量的表示 10 的符号即可。
每逢数位升高便引入新符号
接下来该轮到 100 登场了，古埃及人使用符号
来表示 100。
对于古埃及数字而言，在十进制的记数体系中 , 每逢数位升高一个级别就引入一个新符号。下面是所有的古埃及记数符号。
四千年前的数学书
公元八九世纪，尼罗河一带的湿地和浅水区生长着一种如今在当地已经近乎绝迹的草——纸莎草。古埃及人将这种草的茎制作成一种纸，并在上面做记录。现在英语中的 paper 的词源便是纸莎草（papyrus）。
19 世纪中叶，英国的莱因德（1833—1863）在埃及发现了后来以他名字命名的《莱因德纸草书》这部纸草文献。如今它与罗塞塔石碑都陈列在大英博物馆。这部纸草书是由古埃及的书记官阿默斯在公元前 1650 年前后所抄写，他在书中记录了以往掌握的数学知识。因此，纸莎草也被称为“莱因德纸莎草”或“阿默斯纸莎草”。
猜谜般的答案
阿默斯写的纸草书首先罗列的是 2 除以 5、2 除以7、2 除以 9……这样的问题。这些问题的答案如下。
由此可见，这些问题的答案为分子均为 1 而分母各异的分数之和。
如果让现在的小学生来回答 2 除以 5 的问题，他们可能会按照下图所示的方式，把 2 排列成两行 1，然后对 1 进行 5 等分。
然而，古埃及人首先将 1 视为 3 个 ，所以，如下图所示，2 则为 6 个。因此，2 除以 5 相当于 6 个除以 5。
6 个 除以 5 的结果为 加 1 个须被 5 除的 。于是，便为1/3 与 的和。
若用算式表达上述计算过程，则为
于是
因此
假设法
阿默斯的纸草书中也有下面这样的问题。
“已知某个数与它的的和等于 16，求该数是多少。”
同样，如果让现在的小学生来回答，那么他们可能会说：“某个数加上它的等于该数的。因为它们的和为 16，所以
，即该数为 12。”
如果让现在的中学生来回答，他们可能会令某个数为 x，因为
，所以 x 12。
然而，阿默斯的纸草书中使用的巧妙解法为“假设某个数为 3，那么该数与它的的和等于 4。然而，实际的结果 16 是 4 的 4 倍。所以，该数也应该是假设数 3 的 4 倍，即 12。”这种解题方法叫作假设法。
圆周率的发现
阿默斯的纸草书中还记载了三角形面积、金字塔体积的求解方法等内容，不过最引人入胜的恐怕要数求圆的面积。书中的解法为“圆的面积等于将圆的直径减去它的之后再平方。”下面我们利用该方法求半径为 1 的圆的面积。
因为直径 2 减去它的等于 ，所以再平方的结果为
半径为 1 的圆的面积正好等于圆周率。所以，古埃及人把圆周率定为 3.1604…。
02
古巴比伦数学
屹立在伊朗高原上的岩石文字
底格里斯河和幼发拉底河之间的区域过去被称为美索不达米亚（意为“两河之间的土地”），也就是现今的伊拉克。距今五千年前，苏美尔人居于此地，并创造出辉煌的文明。在那一千年后，古巴比伦人移居至此，继承了苏美尔人的文明。在书写介质方面，与古埃及人使用纸莎草不同，这里的人使用棍棒的尖头在黏土泥板上书写。
在伊拉克的邻国伊朗的厄尔布尔士山脉南部，有一个叫贝希斯敦的村庄。该村庄过去被认为拥有璀璨文明之地，然而如今我们发现，它只不过是商队歇脚的地方。
贝希斯敦的周围是一片高原，高原的正中央有一块巨大的岩石，上面雕刻着细小的符号。当地人曾认为这是过去的神在岩石上雕刻的神秘文字。不过，英国军人罗林森（1810—1895）坚信这是古巴比伦人所为。他将铭文抄录下来，经过十多年的研究最终成功破译铭文内容。
表示数字的楔形符号
首先，1 由一个楔形文字表示。然后，罗列相应数量的来表示 2 至 9，这种类推方法与古埃及人的操作如出一辙。
当数到 10 的时候，则要把表示 1 的横过来变成。1 到 19 的表示方法如下所示。
对于 10 的倍数，从 20 开始直到 90 的表示方法如下所示。
当数到 100 的时候，则要表示为
显然，这是一种基于十进制的记数方法。8x8=1.4但是，在古巴比伦的记录中却包含下面这个奇怪的乘法表。
在这个乘法表中，截至 7 乘以 7 等于 49 都是正常的结果，而从 8 乘以 8 的结果为 1.4 开始，这个表就变得奇怪了。后面的结果全都不太正常。
十进制与六十进制的并用
因为正常情况下 8 乘以 8 等于 64，所以面对 1.4的奇怪结果，我们不得不把 1 视为 60。既然 9 乘以 9的结果为 1.21，那么这里的 1 也同样代表 60。之后的乘积结果也意味着 1 表示 60，因为如果认为 2 表示 60的 2 倍、3 表示 60 的 3 倍，那么后面的所有结果就都说得通了。
因此，古巴比伦人在记数的时候不仅使用了十进制的记数方法，还并用了六十进制的记数方法。那么，这种数到 60 就将其视为一个整体的方法是如何出现的呢？下面的猜想或许可以解释这一点。
60 这个数非常重要
首先，古巴比伦人认为一年有 360 天。他们用围绕一点转一圈即整个圆周表示一年。众所周知，以一点为圆心，取任意半径画圆，然后以圆的半径为单位，从圆周上某点开始作圆的内接线段，作出六条后正好回到起点。线段与圆的交点将圆周六等分，每一份都是整个圆周的，也就是 360 的。因此，他们将 60视为非常重要的数，并在记数时用了将 60 视为一个整体的六十进制。
在现代角度计量体系里，1 周等于 360°、1 度等于60'、1 分等于 60"，人们普遍认为，角度的换算方法就源于此。
等差数列与等比数列
古巴比伦人的另一个重大发现是等差数列和等比数列。
对于这两组数列，想必你能快速说出它们分别以怎样的规律排列。在第一组数列中，从最初的 1 开始依次累加相同的数值 2；在第二组数列中，从最初的 1开始依次累乘相同的数值 2。
一般情况下，按照一定顺序排列的一列数叫作数列。如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，这个常数叫作等差数列的公差。排在数列最前面的数叫作首项，如果数列存在最后一项，则称最后一项为末项。此外，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比都是一个常数，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比。同样，排在数列最前面的数叫作首项，最后一项为末项。
在前面的例子中，第一个数列是首项为 1、公差为2 的等差数列；第二个数列是首项为 1、公比为 2 的等比数列。另外，等差数列也叫作算术数列，等比数列也叫作几何数列。
等差数列之和
想必你已经掌握了等差数列的求和方法。若要计算等差数列从首项到末项的和，只需用首项与末项的和乘以项数再除以 2 即可。让我们用下例给出的等差数列来证明这一点吧。
从 1 开始，逐项增加 2 的等差数列为 1, 3, 5, 7, …。假设要求该等差数列从第一项 1 到第十项 19 的和，如下列算式所示，在该等差数列下方列出与其排列顺序相反的数列，并使上下两列一一对应，令两组数列纵向相加，结果均为 20，共得到十个 20。
因此，答案为 20 的 10 倍除以 2，即 100。
等比数列之和
那么，等比数列从首项到末项相加的计算方法又是怎样的呢？例如从 1 开始，逐项乘以 2 的等比数列为 1, 2, 4, 8, …，若要求该等比数列从第一项 1 到第十项 512 的和，则如下列算式所示，先列出等比数列之和的 2 倍，然后减去原来的等比数列之和，结果为末项 512 的 2 倍减去首项 1。
等比数列之和为
它的 2 倍为
因此，等比数列之和为 1024-
用首字母表示的古希腊数字
前面介绍了地中海沿岸的古埃及，它的对岸便是古希腊。古希腊气候温暖，适宜人类居住，又因为与古埃及、古巴比伦的交通比较便利，所以很快就引入了这两个古国的文化，在公元前一二世纪建立起了璀璨的文明。
对于 1 至 4 的数字，古希腊与古埃及一样，都是摆放相应数量的棍棒状符号来表示。
5 则用古希腊文表示 5 的词语的首字母来表示。6 至 9 则表示如下。1，即 1023。
50 的表示方法
数字 10 同样用古希腊文表示 10 的词语的首字母Δ 来表示。10 至 19 表示如下。
20 至 40 表示如下。
因为 50 为乘以，所以用新的符号来表示。50 至 90 表示如下。
五进制与十进制的并用100 也是用古希腊文表示 100 的词语的首字母
来表示。100 至 400 表示如下。
500 可看作乘以，所以用新的符号来表示。500 至 900 表示如下。
总之，古希腊数字也是五进制与十进制并用的。
……
