黎曼猜想是数学界最著名的未解难题之一，它的证实或证伪将对密码学等领域产生深远影响。本文对此进行了深入探讨。
原文标题：牛津大学数学教授索托伊 ：为什么说黎曼猜想是“危险的”？
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章提到了RSA加密算法，并说它的安全性依赖于大数分解的困难性。那么，如果量子计算机真的能够快速分解大数，会对我们现在的生活产生什么直接影响？
3、文章中提到解决黎曼猜想可能需要全新的数学工具和方法。你认为哪些现有的数学分支最有潜力为解决黎曼猜想提供突破口？
原文内容
其次深刻理解素数分布。如果RH被证实，我们对素数分布的精细结构（如相邻素数的间隔、素数在各种序列中的出现规律等）的理解将达到一个前所未有的高度；如果RH被证伪，意味着素数分布可能比基于RH预测的更加“无序”或遵循不同的深层规律，这将迫使数学家寻找新的理论框架来描述素数。
以及推动数学各分支的进步，证明方法的价值远大于结果本身： 解决黎曼猜想所需要的数学工具和方法极可能是革命性的、全新的。这些新工具（可能涉及解析数论、代数几何、表示论、非交换几何、随机矩阵理论、甚至物理学等）一旦被创造出来，其价值很可能远远超过黎曼猜想本身的结果。它们有望像证明费马大定理催生椭圆曲线和模形式理论的巨大发展一样，深刻影响数学的众多分支（几何、分析、拓扑、代数、概率论等），开辟全新的研究领域。
等等对数学界产生巨大影响。
而对我们现实生活，也有着巨大的影响，比如密码学，目前广泛使用的公钥密码系统（如RSA）的安全性依赖于大数分解或离散对数问题的困难性，这些问题与素数有关。
《悠扬的素数：黎曼猜想趣史》一书中就有对黎曼猜想对密码学的影响。
01
破解数与码
1903 年，纽约哥伦比亚大学数学教授弗兰克·纳尔逊·科尔（Frank Nelson Cole）在美国数学学会的一次会议上发表了一场颇为奇特的演讲。
他一言不发地在一块黑板上写下一个梅森数，又在旁边的黑板上写出两个较小数相乘。在中间标出等号后，他就坐下了。
听众纷纷起身鼓掌，对于满屋子的数学家而言，这是少有的雷霆之声。不过，即便对世纪之交的数学家们来说，两数相乘应该也并不困难吧？事实上，科尔所做的恰恰相反。人们自 1876 年便知晓，
这个20 位的梅森数并非素数，而是两个较小数的乘积，却无人知晓是哪两个。科尔耗时三年，投入所有的周日下午，“破解”出了这个数的两个素数组成部分。
科尔的壮举不只惊艳了 1903 年的听众。2000 年，有一场神奇的“外百老汇秀”叫作《五个歇斯底里的女孩定理》（The Five Hysterical Girls Theorem）。
剧中，有个女孩破解了科尔的数，致敬了科尔的计算。这部剧讲述了一个数学家庭的海滨之旅，素数这个主题反复出现在其中。剧中的父亲感叹自己的女儿即将长大成人，不是因为她已经到了可以和爱人私奔的年纪，而是因为 17 是一个素数，而 18 却可以被另外 4 个数整除。
两千多年前，古希腊人证实，每个数都能被写成素数的乘积。自此，数学家们始终没有快速高效的方法，来确认哪些素数构成了其他数。化学光谱学可以告诉化学家，一个化合物是由元素周期表中的哪些元素组成的，而数学上却没有相应的方法。如果谁能发现类似的数学方法，分解出数的素数组成，那么他所能赢得的将不仅仅是学术赞誉。
1903 年，人们将科尔的计算视为数学奇闻。大家为他起立鼓掌，是对他非凡的辛勤劳动表示认可，而非因为这个问题内在的重要性。如今，破解这个数不再是周日下午的消遣，而成了现代密码破译的核心。数学家们已经设计出一种方法，将破解数的难题与保护世界互联网金融的密码联系在一起。
现如今，就几百位的数而言，找到素因数这一看似寻常的任务其实已经十分困难了，要花费的时间过于漫长，并不现实。因此，银行与电商都将金融交易的安全寄托于此。与此同时，这些新的数学密码已被应用于解决一个一直困扰密码学界的问题。
02
互联网加密的诞生
自人类能够交流以来，就需要传递秘密消息。为使重要信息免落歹人之手，我们的祖先曾设计过非常有趣的方式来掩盖信息内容。最早的一种隐藏方式是在 2500 多年前，由斯巴达军队设计的。发信人和收信人各有一个尺寸完全相同的圆筒，叫密码棒（scytale）。
为了对信息进行加密，发信人首先会将一个窄窄的羊皮纸条螺旋向下缠绕密码棒。接下来，他会沿着密码棒在羊皮纸条上写下信息。如果将羊皮纸条从密码棒上解开，旁人看到的文本就毫无意义。只有将纸条缠绕在相同的圆筒上，信息才能重现。
自此，一代又一代人发明了越来越复杂的加密方法。德军在二战中使用的恩尼格玛机就是最后一种机械编码器。
1977 年以前，任何想要发送秘密信息的人都面临着一个固有问题：发信人和收信人必须事先会面，以决定使用哪种密码作为加密方式。例如，斯巴达的将军们需要就密码棒的尺寸达成一致。即便有了高产能的恩尼格玛机，柏林方面仍需派出特工，将机器密码本交给 U 型潜水艇艇长和坦克指挥官，其中详细说明了每日信息的编码。当然，如果密码本落入敌军手中，游戏就结束了。
想象一下，使用这类加密系统从事互联网商务的逻辑是什么。在能够安全地发送银行业务信息前，我们先要从购物网站的运营公司收到安全信件，知晓编码信息。鉴于互联网的高访问量，许多信件极有可能遭遇拦截。
因此，能够适用于全球快速通信时代的密码系统亟待开发。就像在英国的布莱切利园破解了恩尼格玛的数学家们一样，创造出新一代密码的数学家们将密码学从间谍小说中带进了地球村。这些数学密码促成了公钥密码的诞生。
编码和解码可以被视为锁门和开门。就传统的门而言，锁门和开门用的是同一把钥匙。恩尼格玛机中用于加密和破解信息的设置也是一样的。该设置，也就是密钥，必须是秘密的。收件人离发件人越远，发送用于加密和解密信息的密钥就越困难。
假设有一名间谍专家，他想从不同特工手中安全地接收情报，但又不想让他们读到别人的信息，那么交给每名特工的得是不同的密钥。现在，代替几名特工的是几百万热切的互联网买家。
这种规模的运作，虽然并非不可能，却实乃噩梦。首要问题是，消费者在浏览网站时，并不能立即下单，而是要等待安全密钥被发送过来。这样一来，万维网（World Wide Web）就成了“万维望”（World Wide Wait）。被称为公钥密码学的系统，就像是一扇有两把不同钥匙的门：钥匙 A锁门，而另一把钥匙 B 开门。
这样一来，钥匙 A 就失去了保密的必要，别人拿走这把钥匙并不会危及安全。现在，想象一下，这扇门就位于某公司网站安全部分的出口。该公司可以直接向任何想要发送安全信息，比如信用卡号的网站访问者提供钥匙 A。
尽管人人都使用相同的钥匙为自己的信息编码、锁门并保密，但没有谁可以读取旁人的编码信息。事实上，数据一旦被编码，客户就无法读取了，即便那是他们自己的数据。只有网站的运营公司才握有钥匙 B，可以开门，并读取信用卡号。
1976 年，来自美国加利福尼亚州斯坦福大学的两位数学家惠特菲尔德·迪菲（Whitfield Diffie）和马丁·赫尔曼（Martin Hellman）首次公开提出公钥加密。二人在密码界掀起反主流文化，挑战了政府机构对密码学的垄断。
尤其是在 20 世纪 60 年代留着一头长发的迪菲，他是典型的反权威者。两人都热切地认为，密码学不该是个仅限于政府内部讨论的话题，为了个体的福祉，他们的想法应被公之于众。很久以后，人们才知道，许多政府安全机构都曾提出过这样的系统。但该提案并未见报，而是被打上“绝密”戳记，藏了起来。
斯坦福团队发表了以《密码学新方向》（“New Directions in Cryptography”）为题的论文，预示着加密与电子安全进入新时代。公钥加密有两把密钥，理论上听起来很棒，但能否将理论付诸实践，创造出这样的密码呢？经过几年的尝试，几位密码学家开始怀疑无法造出这样的“锁”。他们担心，在真实的间谍活动中，这种“学术锁”起不了作用。
03
RSA：麻省理工三杰
迪菲与赫尔曼的论文激励了许多人，其中包括来自麻省理工学院的罗纳德·李维斯特。不同于迪菲与赫尔曼的叛逆风格，李维斯特是个循规蹈矩的人。他为人内敛，柔声细语，审慎地回应周遭世界。
读到《密码学新方向》这篇论文时，他志在成为学术机构的一员。他的梦想关乎教授职位和定理，而非间谍与密码。他并不知道，阅读这篇论文会让自己踏上一段旅程，通往有史以来最强大、在商业上最成功的密码系统之一。
在斯坦福和巴黎从事科研之后，李维斯特在 1974 年加入麻省理工学院计算机科学系。他和图灵一样，热衷于抽象理论与真实机器的交互。在斯坦福，他为智能机器人的制造投入了一些时间，但在想法上转向了计算机科学偏重理论的一面。
在图灵的时代，受希尔伯特第二问和第十问的启发，计算机领域的主要问题是，理论上是否存在可以解决特定问题的程序。图灵已经证明，没有程序可以判定哪些数学真理有证明，哪些没有。
到了 20 世纪 70 年代，一个另类的理论问题风靡于计算机科学学术界。假设确实有一个程序可以解决特定的数学问题，是否可以分析出这个程序解决问题的速度有多快？如果该程序得到应用，这一点显然十分重要。
这个问题需要高度的理论分析，却也根植于现实世界。正是这样的结合为李维斯特带来了最适合他的挑战。他抛下斯坦福的机器人，奔赴麻省理工学院，追寻计算的复杂性这一新兴课题。
李维斯特回忆道：“有一天，一位研究生递给我一篇文章，说我可能会感兴趣。”那是迪菲与赫尔曼的论文，李维斯特立刻就被吸引了。“它以广阔的视野阐释了密码学是什么，可能是什么。
要是能提出一个想法就太好了。”该论文的难点将李维斯特所有的兴趣集中在了一起：计算、逻辑与数学。这里提出的问题显然对现实世界具有实际意义，也与李维斯特的理论关切直接相关。
他解释道：“你在密码学中所关注的是将难易问题区分开来。这便是计算机科学的意义所在。”如果一个密码难以破解，那它必然是基于难以求解的数学问题。
李维斯特知道，有大量问题计算机需要大量时间才能解决，基于此，他开始尝试建立公钥密码。他还需要有人能与他交流想法。彼时，麻省理工学院已经开始打破传统的大学模式，放宽院系间的界限，希望鼓励跨学科互动。
作为计算机科学家的李维斯特和数学系的成员们在同一楼层工作。两位数学家伦纳德·阿德曼和阿迪·沙米尔就在附近的办公室里。阿德曼比李维斯特更擅交际，但仍是一个典型的学者，对于一些似乎脱离现实的事情有着疯狂又奇妙的想法。
他回忆起来到李维斯特办公室的一个早晨：“罗正坐在那里拿着这份手稿。‘你看过斯坦福的这个东西吗？讲的是加密、密码、加扰之类的……’我的反应是：‘挺好的，但是罗，我有重要的事情要讲。我对这些不感兴趣。’不过罗对这些东西非常感兴趣。”阿德曼关注的是高斯与欧拉的抽象世界。
对他来说，破解费马大定理才是重中之重，而非诸如密码学之类的时髦课题。
以色列数学家阿迪·沙米尔是麻省理工学院的访问学者，他的办公室位于走廊尽头。在这里，李维斯特找到了更愿倾听的耳朵。沙米尔与李维斯特开始共同研究一些想法，以实现迪菲与赫尔曼的梦想。
阿德曼尽管不是很感兴趣，却难以忽视李维斯特和沙米尔对这个问题的热情。“每次我进他们的办公室，他们都在聊这个。他们提出的大多系统都不靠谱，既然我人在那儿了，我就会加入他们的讨论，看看他们当天提出的想法是否有道理。”
当他们探索一系列“艰深”的数学问题时，其密码系统的雏形开始运用更多的数论思想。这正是阿德曼所擅长的领域。“既然这是我擅长的领域，我就能在分析他们的系统时提供更多帮助，大多时候都是这样。”当李维斯特和沙米尔提出一个看似极为安全的系统时，他觉得自己遇上对手了。
但在彻夜不眠，研究完整个数论之后，他就知道自己可以怎样破解出他们的最终密码了。“这种情况一直在持续。我们会去滑雪，在滑雪途中讨论相关问题……甚至到达坡顶时，我们还在讨论……”
某天晚上，突破来临。当时，三人受邀去一位研究生家中庆祝逾越节的第一夜。阿德曼不喝酒，但他记得李维斯特畅饮了逾越节的酒。午夜，阿 德 曼 回 到 家。 很 快， 电 话 铃 响 了， 是 李 维 斯 特。“我 又 有 一 个 想 法了……”阿德曼认真地听着。“罗，我觉得你这回成了。这个想法我听着可行。”
关于因数分解的难题，他们已经思考了一段时间，始终没能提出巧妙的程序方案，可以将数分解成素数模块。这个问题很有潜力。在逾越节家宴酒的影响下，李维斯特想通了该如何将这个问题编入他的新密码。
李维斯特回忆说：“最开始感觉挺好。但是根据经验，我们知道，一开始感觉还不错的东西，仍会崩塌。所以我就把它丢在一边，直到天亮。”
第二天早上，当阿德曼进入麻省理工学院，来到系部时，李维斯特用一份手稿迎接他，手稿最上方写有阿德曼、李维斯特和沙米尔的名字。浏览全文时，阿德曼意识到，这是前一天晚上李维斯特在电话里讲给他听的内容。
“于是我跟罗说，‘把我的名字拿掉，这是你的东西’。接着，我们就论文上要不要署我的名字吵了一架。”阿德曼答应考虑一下。当时他觉得这件事情一点儿也不重要，这篇论文大概会是他所有作品里读者最少的。但他想起了曾令自己彻夜难眠的早期密码系统。
他曾阻止他们仓促地发表一个不安全的密码，不然就该丢人现眼了。“于是我回到罗那里。‘把我列在第三个。’”这就是 RSA 加密算法名称的由来。
“李维斯特认为，他们最好搞清楚因数分解到底有多难。相关文献很少，很难准确估计已经提出的算法要花多长时间。”马丁·加德纳（MartinGardner）是世界上最伟大的数学科普作家之一，刚好比大多数人都更了解这一问题。
加德纳对李维斯特的提议颇感兴趣，询问他是否可以为自己在《科学美国人》（Scientific American）上的定期专栏写一篇文章，谈谈这个想法。
加德纳的文章所收获的反响最终令阿德曼相信，他们在做大事：那年夏天，我在伯克利的一家书店里，一位顾客正和店员讨论着什么。
顾客说：“你看到《科学美国人》上说的那个密码了吗？”于是我说：“嘿，我参与了那个项目。”那人转头对我说：“我能跟你要个签名吗？”我们被要过多少次签名呢？零次。哇，这是怎么回事……难道真有大事发生！
加德纳曾在文章中说，无论谁寄来贴邮票的信封，这三位数学家都会寄去该论文的预印本。“当我回到麻省理工学院时，有成千上万，真的是成千上万的信封，来自世界各地，其中包括保加利亚国家安全什么的机构。”
三人组开始听说，他们要发财了。虽说在 20 世纪 70 年代，人们还难以想象何为电子商务，但已经明白这些想法所具备的潜力。阿德曼认为，财富会在前几个月开始涌入，于是径直出去买了辆小跑车来庆祝。邦别里并非唯一一个以跑车来庆祝数学成就的数学家。
阿德曼的车最终是靠他在麻省理工学院的固定收入分期付清的。安全机构与商界稍花了一些时间，才充分认识到 RSA 的安全性与威力。当阿德曼加速开着跑车，还寻思着费马时，李维斯特已经在思考他们的提案对现实世界的影响：
我们觉得这个方案或许并无商业潜力。我们通过了麻省理工学院专利办公室的审核，然后想看看是不是有公司有意愿将该产品投入市场。但在 20 世纪 80 年代早期确实没有市场。在那个阶段确实没什么吸引力，世界尚未被网络连接起来，人们的办公桌上还没有计算机。
谁会感兴趣？当然是安全机构。李维斯特说：“安全机构正密切关注着一切技术的发展。他们尽其所能地不让我们的提案太快实现。”关起门来的情报界似乎也曾提出同样的想法。但安全机构并不确信，是否要将自家特工的生命交在几个数学家手中。这些数学家认为，数的破解并非易事。
德国联邦信息安全办公室的安斯加尔·霍伊泽尔（Ansgar Heuser）回忆起他们在 20 世纪 80 年时如何看待 RSA 在其领域的应用。他们向数学家咨询，在数论方面，西方是否比苏联更强。
得到否定的回答时，这个想法就被搁置了。但在随后十年间，RSA 不仅证明了自己可以保护特工的生命，还证明了自己在公共商业世界中的价值。
目前，RSA 密码技术保障了大部分网络交易的安全。
《悠扬的素数：黎曼猜想趣史》
作者：[英] 马库斯•杜•索托伊（Marcus du Sautoy）
译者：谈天星
全新译本，20周年纪念增订版！增加了初版至今20多年间的素数进展和突破。
被译为11 种语言，全球累计销售百万册
荣获意大利皮亚诺奖，德国格丁根科学院萨托里乌斯奖
欧拉、高斯、黎曼、希尔伯特、兰道、哈代等大师攀登黎曼猜想高峰的天才与疯狂、失败与突破的数学史上最热血的人类智慧之战。
没有黎曼猜想就没有今天的互联网，顶尖数学家、计算机专家都在研究素数。
补上最精彩的一堂数学课：为什么顶级黑客都在研究素数？没有黎曼猜想，就没有今天的互联网？