《为什么是数学》一书着重讲解数学建模的思维方式，强调数学的局限性及与生活的联系，旨在提升学生的数学素养。
原文标题：绝了！看了北京十一中名师给孩子的数学阅读书单，才明白什么叫降维打击……
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章中提到了数学的局限性，以及它作为“语言”的缺陷——自指性。你认为在实际应用中，数学的局限性体现在哪些方面？我们应该如何正确看待和使用数学这个工具？
3、文章最后提到了“在继承科学传统时，继承抽象，抛弃具体；在解决科学问题时，发展抽象，面向具体。” 你是如何理解这句话的？你能举例说明吗?
原文内容
最近看了全国最有名的学校之一，北京市十一学校本部高中数学教师、数学建模实验室负责人朱浩楠老师推荐给学生的阅读书单，真的惊呆了！如《科学革命的结构》《对称与不对称》《最后的数学问题》等书都是科普领域颇为深度的图书。现在的学生真的过于优秀了。
而回到朱浩楠老师自己，其实也写了两本非常具有启发性的图书，《数学建模33讲：数学与缤纷的世界》《为什么是数学：关于数学建模和科学思维的30次对话》，因为他同时还是还担任教育部数学课程标准修订组学术秘书、北京地区联校数学建模活动负责人，现在也是全国中学生数学建模冬、夏令营发起人和组织者之一。
所以在数学建模上，有着独到的见解。我们不妨从《为什么是数学》这本书中，看看他的理解。
《为什么是数学：关于数学建模和科学思维的30次对话》
作者：朱浩楠
文章 | 数学是人的数学
如果说，我之前两本关于建模的书《面向建模的数学》和《数学建模33讲：数学与缤纷的世界》的内容侧重于建立数学建模的基本流程、方法和典型案例，那么，本书针对的则是数学建模过程中的一些关键问题，如“这里为什么这样思考”“在将这个问题数学化的过程中需要注意些什么”“这些数学结构难道不是拍脑门儿想到的吗”等。
打个比方，假如前两本书如同“招式解析”的话，那么本书更像是“内功心法”。
要想解构数学建模过程中到底经历了哪些思维过程，就不得不上升到方法论，甚至哲学的高度，尤其要借鉴科学史和科学哲学中的优秀理念。但是，这样一来就往往会让内容枯燥、晦涩。为了改善这类问题，更好地展现思维的发展过程（往往体现为思想的冲突过程），同时为了更好地帮助读者“带着问题阅读”（包括做一些必要的思维练习，但请大家放轻松，这些思维练习往往不需要大量的演算），本书采用了在数学科普书中并不常见的对话体形式。
本书有三位主人公，实际上代表了三个群体：王同学是一位新时代学生，她追求数学学习的价值和意义，不满足于将数学作为工具学习；孙老师虽然偶尔认知相对陈旧，但能够在实证的基础上接受新观念，是一位可敬、可爱的教育前辈；朱老师代表锐意创新，具有较扎实的哲学和科学积淀，拥有丰富实践经验的新时代数学教师。
当然，这三人无法代表所有人，但我认为，他们是未来的希望——新时代的教师需要尊重和继承前辈的传统，同时基于价值发展出新的观点；新时代的学生不会满足于通过考试，不会满足于找一份体面的工作，而要追求学习的人生意义和社会意义。现在，我们必须问问自己：学习的意义是什么？这样的自我考问有助于我们建设丰沛的“精神家园”。
有一点要明确：是人在学习，也是人在创造和发现数学，数学是“人的数学”。数学不是谁一定要完成的任务，也不能作为评判智力水平的依据，更不是具有无上能力的近乎完美的学科。人有局限性，数学也有。人将人的局限性传递给数学，数学也将数学的局限性传递给人，双方都在被对方局限性的“驯化”过程中不断演化和反抗，进而形成了一个关于理性的张力系统。
这就直接引出了三个问题：数学的局限性是什么？数学的局限性源自哪里？数学既然有这么大的局限性，为何能在文明和科技发展中起到这么强有力的关键作用？
这三个问题的回答见仁见智。下面，我结合自己认同的观点谈一谈自己的认识。
吴军在《脉络：小我与大势》一书中提出，“历史实际上是我们了解现实的训练数据”。同样，数学的强大之处在于，无论面对理论问题还是实际问题，一旦按照“基本假设（或公理）→符号约定→模型建立和求解→模型检验”的过程形成一个数学模型，这个数学模型就能被无偏地继承和发展。一方面，基本假设类似于数学里的公理系统，数学模型从中演绎出来，基本假设不变，模型就不会变；另一方面，在不同时代和背景下，用来求解和检验模型的数据可能不同，这样一来，数学模型的结果和评价就暗含了在实证主义下与时俱进的可能。于是，数学成为历史材料的一分子，而作为“我们了解现实的训练数据”之一，数学具有一般历史材料所不具备的优良特性：遵循逻辑、实证可靠、与时俱进。
数学十分强大，但这和数学的局限性有什么关系呢？
别忘了，数学是一门“语言”，我们不要被它高度形式化和抽象化的外表所蒙蔽。
语言的作用毋庸多说，即使说，人类文明的诞生和发展依赖于语言的发明和传播，也不为过吧？我们耳熟能详的科学技术革命深度依赖于印刷术、造纸术和出版业的发展。语言自身可以通过结构的演化涌现新的理念和张力。这一点对于我们中国人来说十分容易理解，只要想一想瑰丽无比的唐诗、宋词，和各种诗歌中对语言结构的巧妙编排，及其所营造的各种意象就可以了。
数学作为语言，其公理化体系让不同观点之间的交流最终变为在不同公理（或基本假设）之间的选择，这大大降低了讨论和协调的成本，甚至不同观点可以同时在同一个人的脑子里共存，并互相增强。关于这一点，只需要想一下你在上学时经常做的“分类讨论”题目就可以了。分类讨论就是在不同的基本假设下讨论，每一类演绎出一个毋庸置疑的结果，不同类的结果之间互为补充，各自成为更大的系统的一部分。在这个过程中，数学逐渐赋予了人们联系微观和宏观、过去和未来、局部和整体的可靠办法，大大拓展了人类探索能力的边界。可以说，这都来自数学作为公理化语言的特性。
但危机也蕴含于此。只要是语言，无论基于公理系统还是别的什么，就一定逃不出一个重大的“缺陷”——自指性。
根据罗素悖论，对于任意的语言，我们总可以构造出“这是错的”这样一句话，而这句话是不能被判断对错的。你可能在小说里见过这样的对白：“死鬼，你怎么还不去死？”任何情商正常的读者都应该能根据上下文理解这句话的内涵，并领会这句内在逻辑完全错误的对白对于剧情发展和人物性格塑造的作用。
是的，也许你已经猜到我要说什么了：数学是一门语言，但语言不一定是理性的。
从某个角度来说，数学里的“三次危机”——无理数的发现、无穷小的模糊、罗素悖论——其实都可以被视作语言自指性的危机。当然，在危机产生后，通过改变或创造新的语法，危机得以消除或缓解。无理数的危机通过引入新的更大的数系而消除，无穷小的模糊通过引入极限的 ε -δ 语言而消除，罗素悖论通过限制“集合的集合”的使用而缓解。
但新的危机不见得不会在未来产生，别忘了，我们有著名的“哥德尔不完全性定理”——“在任何包含初等数论的形式系统中，都存在着一个命题，该命题和它的反面在该系统中都不可被证明”。图灵曾经尝试通过在系统中引入“神谕”来解决不完全性，但随着讨论的继续，他发现引入“神谕”的系统依然需要新的“神谕”，进而层层嵌套直至无穷，都无法消除不完全性。
这样一来无异于指出：语言的边界大于理性的边界。
我认为，数学作为一门形式化、公理化的语言，其局限性就根源于此。我们的生活充斥着非理性，数学作为承载人类纯粹理性的语言，无法处理生活中的许多事情。那些为了爱和正义而甘愿舍弃生命的人，如果将他们的行为化归为某种优化问题，视作某种利弊权衡下的最优解，这既是对人性的侮辱，也是对数学的滥用。
然而，具有局限性，是数学强大的开端。
数学的局限性是语言的局限性。数学既要逻辑，又作为语言，这本身就形成了一个潜在的张力——拉康有一句名言，“语言是缺席的在场”，而按照我的理解，逻辑是“确证的在场”。
我们理解一句话，往往要体会说话人的“言外之意”，正如“办不了”不一定等于“无能为力”；而我们认同一个命题具有逻辑严谨性，却要清晰地看到其论证过程。一个缺席，一个在场，互相拉扯，但互相激发，所产生的张力给数学带来了强大的力量。
这种力量总结为一句话，就是“数学承载了人类面向心智的雅致统一的追求”——从古希腊开始，数学的发展及其应用就具有高度的审美特性，古希腊毕达哥拉斯学派通过整数和音律的关系引入了“数学为自然之和谐”的理念，这个理念伴随着数学的发展历程，早已内化为一种人类文明共有的审美倾向。
我不止一次听见我的学生在解释他为什么这样而不那样构建一个数学模型时说：“老师，因为我觉得这样很优雅。”但是，当你追问他为什么优雅时，他也说不清楚，即便在场的所有人对这份“优雅”都有共识。
每个数学领域的演化，都沿着“现象→理念→概念（结构）→计算→理论（对计算结果的整理和分类）”的路径循环展开，数学不会倾向于某个先验的、独断式的判断，而是通过现象（理论的或实际的）来构建理念和概念，进而发展出理论。这意味着现象（或称为例子、问题等）而非理论，才是数学蓬勃生机的源泉。
而在从现象到理论的过程中，人的自由意志就体现在选择何种结构和路径上。“朝那里构建和发展理论”，与其说是一种技术性的思考，不如说是一种审美性的考虑。有审美的地方就一定有传统，因为审美是对传统的实践表达。
按照吴国盛的说法，近代科学有三大传统，分别是“数学传统”“实验传统”和“自然志传统”（natural history，常被说成“博物志传统”，吴先生认为这于传播有利，但于含义有偏差）。
并不是说，数学里只有数学传统，实际上，数学从“古典数学”演化为“现代数学”的标志，即实验传统和自然志传统的融入，例如著名的泰勒展开就是实验传统中的测量术在数学里的形式化表达。本书中还将提到其他一些例子。
假如这些科学传统及其对数学的影响不被关注，甚至在被有意忽视，那么，这将严重阻碍学生理解数学结构的本质。学习数学，不能仅仅停留在“阅读说明书”的水平，而要上升到素养层面。
如何落实数学素养的提升，避免学生“出了教室就想不起来用数学”呢？我想，一个有效的办法就是让数学走出数学课堂，走入生活，建立用数学来描述、研究、解决现实问题的平台和路径，帮助学生将数学变为自己观察和认识世界的一种方式。这也就是数学建模教育在做的事情。
数学建模是对当前数学教育，尤其是中小学数学教育的一种重要补充，因为数学建模能让学生真正体会用数学的思想方法研究一个问题的“真实且自然的过程”。
从科学哲学角度来说，数学的研究思维和应试思维，一个是升维过程，另一个是降维过程，“味道”大不一样。如果缺失了数学建模教育这一环，学生就可能无法体会数学与一般系统论，尤其是与复杂开放系统之间的深刻联系，而后者是科学界公认的未来的科学革命的方向（这种革命也许正在发生）。
许多人认为，科学革命会导致现有体系的崩溃，其实并非如此，因为科学革命的发生和发展是基于传统的，不是凭空完成的。这就意味着，继承当前数学和科学的传统会帮助我们在新的科学革命的浪潮中保留自我、发展自我并创造价值。
在本书中，我讨论了许多现代科学范式和科学传统，目的就在于：我不是要给读者一个完备的科学方法库以备调用（以我的知识水平也不可能办到），而是尽我所能帮助大家体会科学范式和科学传统的内涵，做好应对变革的准备，甚至尝试在变革中做出自己独特的贡献。
提到继承和发展，本书中的一个核心观点就是：在继承科学传统时，继承抽象，抛弃具体；在解决科学问题时，发展抽象，面向具体。一旦弄反了抽象和具体的顺序，往往会造成很大的麻烦。关于这一点，书中会有较为详尽的论述。
本书想解决的另一个问题是学生在建立数学模型时的错误迁移问题。尤其是数学建模的初学者总喜欢将问题“套入”某个现成的数学模型，却忽视了模型的基本假设和适用条件，只关注部分现象的“类似”，仿佛“只能看到自己想看到的”，这样做往往会得到荒谬结论。
本书将这个错误归源为对“同一”和“同源”，以及“类比”和“隐喻”的混淆和误认。尤其，隐喻只具有启发性，不具有证明性——“太阳公公对我笑”是一个典型的隐喻，但不能因此推导出太阳耀斑是“太阳公公在发火”。隐喻的启发性是科学灵感的重要来源，但不能夸大其逻辑性，得到错误的类比。
最后，我想给出一些阅读本书的建议。
第一，读者不妨将自己带入对话中，跟着人物思考和讨论，必要时动笔演算，不要放过任何一个例子（但必要时可放过其理论推导）。
第二，我建议读者一边阅读，一边复习和补足缺失或遗忘的数学知识。谈论某件事，做到某件事，做好某件事，这三者各不相同。数学模型的建立过程往往需要首先根据现象建立思想模型，再将思想模型形式化为数学模型，前者需要深刻的思想和传统作为基础，后者需要扎实的基本功。
为了方便读者，本书的插页还给出了两种视角下的阅读路线，大家可按需选择。愿各位朋友在阅读本书的过程中能从数学中感受到震颤、神驰、愉悦和慰藉。
朱浩楠
2024 年 6 月于北京
《为什么是数学：
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作者：朱浩楠
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