还在为孩子学不好数学焦虑吗？本文作者，浙大数学系博士贼叉老师，分享培养数学兴趣和计算能力的方法，帮你走出焦虑！
原文标题：数学，到底应该怎么学？
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章中提到了“套路”这个概念，作者认为小学生自己想出“套路”的可能性很小，大家怎么看？ “套路”在数学学习中是必需品吗？
3、作者提到要让孩子在“吃尽苦头”的时候再拉他一把，大家赞同这种教育方式吗？在数学学习中，应该如何把握“苦”和“乐”的平衡？
原文内容
有一个好消息，还有一个坏消息，你们想先听哪个？
先听坏的吧：我们必须明白一个残酷的事实，那就是大部分孩子在数学上是没有什么天分的。
但是还有一个好消息啊：那就是如果方法得当的话，我们还是有可能让一小部分没什么天赋的孩子喜欢上数学的。
千万别问我“你自己喜欢不喜欢数学”这个问题。在上大学以前，我是真的很喜欢数学，喜欢到产生一种错觉，觉得自己是“为了数学而生”的那种男人。你们别笑，谁还没个年少无知的时候嘛！
但是到了读完大一，我知道自己不是这块料之后，确实深受打击，至于后来读硕士、读博士，那更多的是因为外部的需求，迫使我提升自己的学历。
对于我来说，数学是我的职业，既然是职业就必须要有职业素养，所以我在也分不清，我到底是职业驱动还是兴趣驱动，反正每天不做几道题，不看看数学，是挺难受的——恐怕我对数学女王还是有点兴趣的吧？
那么，怎么培养数学学习的兴趣呢？除了数独和魔方之类的游戏，我在这里给大家推荐一个我自己觉得有用的方法。
我的孩子适合学习奥数吗？我家孩子挺聪明的，就是“粗心”，这该怎么办？小学时数学成绩挺好，为啥到了初中成绩就下滑？怎么追上来？一做难题心就慌，做到一半就卡住，怎么走出困局？一题多解……但哪种方法更好？解题过程中，如何发现潜在的深层问题？
浙大数学系博士、畅销书“不焦虑的数学”系列作者贼叉老师一次性给你解答完！
万丈高楼平地起，计算过关是第一。
曾经有一次和老战友吃饭，他说孩子要在三天后考我们本地最好的初中，问我有啥办法提高数学成绩。我当场表示：我不是神仙哪！
数学的学习不可能一蹴而就，要把数学成绩搞上去，必然要配套许多的基本训练。在这些基本训练中，最为重要也最为核心的就是计算能力的训练。
从小学开始的数的计算到中学的式的计算，无论你到哪个阶段，对于数学来说，计算能力都是至关重要的。如果计算不过关，其他都是白扯。
在小学阶段数学能把计算学过关，对后续的数学学习的意义是巨大的。很多学生乃至家长对计算能力有一种误解，认为计算能力就是死算、硬算的能力。然而我所讲的计算并不是类似 123 456 789 乘以 987 654 321 这种，当然这个计算也重要，但毕竟是最基础的，并不是最重要的。如果比赛这种计算，那你们十有八九比不过菜市场卖菜的阿姨。
所以，我们还是要学数学里要用的各种计算技巧。之前我写过一系列文章，包括高考、考研系列问题。我经常强调一句话：不要搞什么技巧，就用最自然的办法来解决——这是不是自相矛盾了？借《天龙八部》里的人物包不同的一句话：非也非也！
我这么说，正是因为太多考生到了高考和考研阶段，计算也没有过关，然而那时候哪里还有工夫训练计算？只能是什么样就什么样了。在初二之前，都是计算能力养成的好时机。过了这个时间点，后面的数学课再也没有专门关于计算的章节了。
再到后来，数学的知识点都学不过来了，哪有空练计算呢？这就好比，小学毕业时的作文水平基本决定了高考时的作文水平，你初一读完时的计算能力基本就是你高考时的计算能力。别人封顶而止，你封腰甚至封膝盖而止，就是因为你根本没有把计算练好。所以一定要在初二之前，把自己的计算能力尽可能地提高。
再次强调，在不同的时间节点，数学教育的重点是不一样的。所以在平时讲技巧，在考试时讲基础——平时不练技巧，考试的时候哪来的技巧？但对于大多数学生来说，技巧的训练也是缺失的，要么就是训练得不科学、不系统。所以在讲到高考和考研的时候，我也只能根据大多数人的水平，希望大家不要追求技巧，尽量从基础出发。我当然也希望大部分学生能把技巧掌握得很到位，但那似乎是不可能的。
就像本书第一篇所讲的那样，培养数感是很重要的一件事，所以除了速算以外，我想来讲一讲怎么巧算。
01
计算硬功夫中的巧劲儿
对于小学家长来说，你可以随意挑一些比较大的数的四则运算来训练孩子——反正你有计算器，也不用凑什么数字。这种训练方式简单粗暴，目的不过是锻炼孩子细心，但是家长比较容易掌握。一定让孩子把计算过程都保留下来，如果出错了，那么必须让他找出错在哪一步。
像这种训练，家长自己可以直接完成，当发现孩子对大数的运算正确率几乎是 100% 以后，再来谈其他数学能力的培养，否则培养半天也是白搭。
比如，我们看：
这里没什么技巧，按部就班计算，得到
就是靠这些枯燥、没有技巧的训练做基础，孩子才有可能驾轻就熟地玩转更复杂的计算。
“硬算”过关了，接下来自然是巧算的功夫了。
等差数列求和
历史上最著名的巧算故事莫过于“数学王子”高斯在 10 岁那年的杰作。
老师让学生们计算从 1 加到 100 的和，扭了个头儿的工夫，高斯就算出来了。高斯的做法是把 1 到 100 倒序排列，然后再和原来的数列相加，这样得到了 100 个 101，所以最后的值就是 10 100 ÷ 2 = 5050。
我们可以把这个方法推广到所有的等差数列求和。所谓“等差数列”就是指一个数列中每个数减去它前面的那个数，所得的差都相等。这样的数列求和可以用高斯的办法来解决。
我们把整个数列倒过来，然后和原来的数列中每项做个一一对应。我们发现，每组数的和都是相等的，并且组数就等于数列的项数。所以，这个数列的和的 2 倍就等于任意一组和乘以项数，很容易推导出等差数列的和等于首项加末项的和乘以项数再除以 2。
当然，这个故事写成这样，我觉得是怕现实把小朋友吓到。据说当年高斯计算的其实是一个首项大于 80 000 的等差数列求和，然后高斯是秒答。像高斯、欧拉这样的数学家的计算能力真是“人神共愤”。哦，对了，还有帕斯卡（就是那个名字变成压强单位的人）。
据说帕斯卡临终啥话都不想说，有个朋友为了让他说出遗言，就问他：“帕斯卡，12 的平方是多少？”帕斯卡回答：“144。”然后就没有然后了……所以，哪怕像帕斯卡这样的人，终其一生也是计算不止，何况我等凡人？
那到底什么是巧算？我们来看一些例子。
直接动手一个个加，这就是硬算的办法。但这显然不是什么好办法，因为这些数太有规律了，有规律到如果你真的一个个加，都会觉得惭愧且于心不忍——事实上，只要没规律的计算做得多了，你自然就能看出这里面的规律。
这里顺便多说一句，一定量的练习可不等于题海战术，也不等于重复练习。比如说，家长让孩子算 1 234 567 + 23 413 124 + 323 094 = ？这种类型的题目，只要孩子的正确率和速度过关了就行了，过关之后就减少训练量，甚至就别再练了。
因为人在学习的时候都是趋利避害的，孩子看到那些熟悉或者会的内容就心情愉悦，假如再让他练其他薄弱环节，他又要吃一遍苦，多半就不乐意了。所以，必须要人为干预和控制，孩子练会了一项之后就要换个东西练，比如可以练 1 234 567 × 23 413 124 × 323 094 = ？就跟成年人干工作一样，要的是十年工作经验而不是一年的经验重复十年。
然而，这正是大多数人会陷入的误区，这也是孩子看起来苦得要命，但成绩总上不去的一个重要原因——练来练去，他重复练的都是自己已经掌握的东西。
既然例 1 这个式子是有规律的，我们就要考虑巧算。怎么个巧法？如果这个式子变成让你求 4 + 44 + 444 +…+ 4 444 444 444 的和就好了！好吧，如果现在就是让你求 4 + 44 + 444 +…+ 4 444 444 444 等于多少，你该怎么办？
好尴尬啊！明知道有规律，但仍然发现不了规律，着实让人着急。当然，本题中总共也只有 10 个数，就是硬算也要不了多久——虽然我们知道最好的方法肯定不能是硬算。
“套路”之所以好用，是因为它是前人智慧的结晶。作为小学生有没有可能自己把套路想出来？理论上有可能，但那真的是极少数人。对于那些能够用逻辑思维解释得通的技巧方法，我尽量从逻辑推理上进行讲解，但是，有些套路真的是无法用逻辑来解释。反正，有的老师东拉西扯能给你套上。
不过在我看来，不如说是创始人的灵光一现，才是他们当初如何找到“套路”的最科学的解释。这就好比作家写文章时也许并不知道自己表达了那么多的深刻含义，大多“含义”其实是后人硬扯上去的。很多解题套路也都是凭空想象，没什么根据，但是，有的老师就能讲得头头是道，告诉你要这样想、那样想，实际上纯属事后诸葛亮。
比如，4 + 44 + 444 +…+ 4 444 444 444 可以被写成
而
所以，原式的和等于
做完了吗？没有，因为没有验算。你看，你开始不知道套路，我教你了，你就知道了；但是验算这个意识，你未必有。我之前已经多次提及，计算题做完了一定要想着去验算，必须养成这个习惯。
这怎么验算呢？
首先看尾数。在原题中，10 个数的尾数位上的数字之和为 3 × 9 + 4 = 31，所以最后结果的尾数应该是 1。接着看，最后结果的各位数字之和是 49，除以 3 余 1；原来式子中所有数之和是 4 × 46 + 3 × 9 = 211，除以 3 余 1。（想一想：这是为什么？）
两相印证，这个题基本上就对了。
如果让一个五六年级的学生在没接触过这类问题的情况下去构造这个方法，不是说完全不可能，但是，如果孩子能靠一己之力想到，真的是值得我们“膜拜”。当然，如果你要给孩子讲这个套路，一定要先让他自己想；想半天之后，如果孩子做不出，那就先硬算，然后再告诉他这个方法，印象必定深刻。今后，假如碰到涉及 xx…x 这种形式的数，将其转化成
是首选的方法。这种构造性强的技巧还是要以直接灌输为主，因为在大多数人的能力范围之内，如果没有接触过同类问题，确实太难想到这种技巧了。
当然，如果你的职业是“程序猿”的话，应该能直接脱口而出：2047。毕竟说起二进制来，谁也玩不过你们——就像当年我们看着学通信的同学口算傅里叶变换和逆变换时惊为天人一样，程序员对这个求和实在是太熟悉了，说出答案应该近乎尔等“码农”的本能反应了吧。
然而，你现在面对的是十岁左右的“小伢儿”，怎么才能把这个解释明白呢？
只要我们有高中数学的技巧，马上来一句“错位相消”，题目就做完了。这样的锻炼效果恐怕不会太好。那就让孩子自己琢磨——这一上来，孩子肯定抓瞎啊，扭头一看你虎视眈眈，一副准备连全家人一块打的样子，他不得抓耳挠腮？
其实，只要加了前几项，你就会发现结果永远等于最后一项的 2 倍减 1，所以最后结果就应该是 2047。这叫什么？归纳猜测。数学归纳法的雏形不就是这样吗？
当然，猜是很多孩子都能做到的。这时候，你在肯定孩子的同时，如果追问一句：“为什么会是这个结果？”估计孩子得再抓瞎一次。
人渴极了的时候喝水，才能感受到愉悦。同样，你真要孩子掌握住一项技能，一定先要让他吃点苦头——最好是吃尽苦头，在他被折磨得“奄奄一息”的时候，拉他一把。
当孩子实在想不出来的时候，你就问：“把整个式子乘以 2，会变成什么样？”
答：“2 + 4 +…+ 1024 + 2048。”
问：“此时减去原来的式子得到多少？
答：“变成 2048 - 1 = 2047。”
问：“2 倍后的整个式子减去原式，剩下的不就是原式了？”
更直观一些，设 x= 1+2+4+8+…+1024，则 2x = 2+4+…+ 1024 + 2048，于是 x= 2047。这就是错位相消了。
……未完待续
01
《不焦虑的数学》（1-3）
作者：贼叉（朱晓睿）
数学大V贼叉写给小学和初中学生、家长的数学教育书，例题、分析、解读，好老师的好方法，告诉家长如何帮助孩子，告诉孩子如何提高。
剖析中学阶段数学学习的思维方式、学习方法，针对薄弱点有效解决，稳抓稳打，提高效率，中学数学学习不再焦虑。摸透定理和概念，细讲推理步骤，锻炼逻辑思维，养成良好学习习惯。
