《数学女孩的秘密笔记》巧妙结合故事与数学知识，揭示了杨辉三角形与组合数之间的内在联系，带你领略数学的魅力与奥妙。
原文标题：能丝滑打通中学所有数学知识难点的，我只服这套书！读者评价“小说一般的阅读体验”
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
- 《数学女孩的秘密笔记》通过引人入胜的故事，引导读者思考问题。
- 杨辉三角形中每个数是组合数，体现了数学公式的简洁和高效。
- 证明杨辉三角形中数为组合数需要多角度思考和数学推理。
- 《数学女孩的秘密笔记》全系列囊括初等数学重点分支，是一套值得推荐的数学科普读物。
怜星夜思：
2、为什么说杨辉三角形中的数是组合数？
3、如何证明杨辉三角形的生成规则能够生成组合数?
原文内容
我们在学校学数学时，通常会过于匆忙。
老师以学生能否解出一个等式来判断他是否理解了与该等式相关的基础知识。这样一来，学习数学的过程只是不断解题的过程。在这个过程中，学生不追寻根源，没有自己思考、追问和尝试的空间，正是这种短视的学习方法使我们离数学越来越远，无法享受到学习的乐趣。
结城浩认为，学好数学，“会提问”很重要。
数学中有许多好的问题待被提起，当它摆在你面前时，仔细追问前因后果是很重要的。老师的一个重要职责就是正确引导学生边思考边学习。因为提出一个问题往往比解决一个问题更重要，解决一个问题也许是“数学上”的技能，而当我们提出新的问题，新的可能性，从新的角度看待问题，却需要极具创造力和想象力，它标志着真正的进步。因为享受真正意义上的数学，是要让人们有机会仔细思考所讨论的数学的意义。
而《数学女孩的秘密笔记》系列的最大特点在于，它不仅仅提供了解题的答案，更是带领读者一起探索问题的解决过程，让读者能够跟随书中人物的思维轨迹，寻找最正确的出发点。
在《数学女孩的秘密笔记》系列中，读者可以跟随书中人物一起思考问题，体验不同的思维方式和方法。这种互动性和参与感可以让读者更加深入地理解问题，并从中获得更多的启示和收获。学会思考不仅是一种重要的思维能力，更是每个人在生活中必备的技能。通过阅读这个系列，读者可以逐渐培养自己的思考能力，为未来的学习和生活打下坚实的基础。
《数学女孩的秘密笔记》这套书囊括整数、概率、微分、积分、三角函数、排列组合、统计数学，七大重点分支和重要知识点！一遍阅读小说，一遍学习知识，不知不觉中感受数学的魅力！
下文节选《数学女孩的秘密笔记：排列组合篇》中关于“杨辉三角形”的段落，一起欣赏书中的精彩之处。
由梨：“哥哥，推导数学公式的过程很有趣耶，让我也有点儿想试试看！”
我：“没问题。你知道杨辉三角形吗？”
由梨：“知道呀，就是把上面两个数相加得到下面的数，不是吗？哥哥，你以前经常提起啊！”
我：“你知道这些三角形中的数，每个都是某种情形下的组合数吗？”
由梨：“呃……为什么啊？”
我：“整理成表格，会比较清楚。”
由梨：“我不觉得这样比较清楚耶！”
我：“这个表格中第 n 行第 r 列的数刚好等于从 n 个物品中选出 r个的组合数哦！”
由梨：“这样啊！”
我：“举例来说，如果要求从 5 个物品中选出 2 个的组合数，过程是
而这个答案与表格中第 5 行第 2 列的数10 相等。”
由梨：“真的耶！啊，这个表格是从第 0 行第 0 列开始算的啊！”
我：“是啊，从 0 开始算会比较方便。”
由梨：“是哦！”
我：“刚才提到的对称公式，也可以从杨辉三角形中看出来哦，你知道怎么看吗？”
由梨：“不知道。”
我：“马上回答表示没有思考，你这样曾让米尔迦生气，记得吗？”
由梨：“哦，别搬米尔迦大神出来说教啦……我想想，每一行的数都会左右对称，是吗？”
我：“没错，表格中的数如 1、1，1、2、1，1、3、3、1，……，每一行的数都会左右对称。拿第 8 行来看，
1 8 28 56 70 56 28 8 1
确实和对称公式这个名字相符。”
由梨：“嗯嗯。”
我：“对称公式可以由组合数的定义得证，也可以由杨辉三角形观察得到。除此之外，也可以像你刚才说的，因为从 n 人中选出 r 人和从 n 人中选择，并留下 n -r 人的意思一样，所以对称公式成立。我们可以从多个角度来看组合数的意义。”
由梨：“哦。”
我：“话说回来，你不觉得很神奇吗？”
由梨：“哪里神奇？”
我：“在制作杨辉三角形时，先在第 0 行写下 1，第 1 行写下 1、1，接下来只要将上一行的两个数相加，就可以得到下一行的数了。两端的数永远是 1。”
由梨：“是啊！
我：“你知道为什么这种做法得到的数都是组合数吗？不过，只是一直把两个数加起来而已。”
由梨：“为什么啊……为什么呢？”
我：“杨辉三角形可以用来产生组合数吗？问题在此。”
由梨：“……我不知道。啊，这次我思考过啦！不是我懒得回答的意思，我的意思是不知道该怎么回答。”
我：“嗯，说得也是。这个问题不好回答，让人不知道该怎么回答才称得上是答案呢，对吧？”
由梨：“没错。该怎么回答才称得上是答案呢？”
我：“其实有好几种回答的方式，举例来说，用数学公式就可以写出答案了。”
由梨：“用数学公式来回答吗？”
我：“杨辉三角形的规则是两端为 1，由上一行的 2 个数相加得到下一行的数。与之相对，组合数
的定义为
。”
由梨：“嗯，了解，然后呢？”
我：“所以，只要能证明杨辉三角形的生成方式，即可推出组合数的公式。”
由梨：“……”
我：“咦，不好懂吗？
由梨：“让我想一下。”
由梨的表情突然变得严肃，似乎正在全速运转她的脑袋，栗色头发散发出金色光芒。我则在一旁静静等待由梨“回过神来”。
我：“……”
由梨：“……我说哥哥啊！”
我：“怎么啦？”
由梨：“……这很有意思耶！”
我：“什么东西很有意思？”
由梨：“你看啊，虽然我知道杨辉三角形是什么，但当我听到它可以生成组合数时，只会觉得‘是哦，那又怎样’。从来没想过要证明看看。”
我：“嗯。”
由梨：“一般来说，的确会这样想，没错吧？制作杨辉三角形的方法，本来就不太容易联想到可以用来生成组合数。当数比较小时，像第 5 行第 2 列，确实是组合数之一的
没错。但我们没办法保证接下来的每一个数都会是组合数啊！”
我：“没错。就是这个意思，你真的很厉害耶！我们就是希望能保证‘若照着杨辉三角形的规则往下写，则写出来的数都是组合数’，才想用数学证明看看。”
由梨：“证明得出来吗？”
我：“证明得出来。只是需要一点儿计算，一起来试试看吧。”
由梨：“好啊！”
我：“嗯，我们要证明的是‘对于所有大于或等于 0 的整数 n 与r，杨辉三角形第 n 行第 r 列的数皆等于
，其中 n≥r’。”
由梨：“嗯嗯，的确。要是能证明这是对的，就能保证杨辉三角形中每一个数都是组合数。”
我：“先将表示杨辉三角形中，第 n 行第 r 列的数写成 T(n, r)。”T(n, r) 表示杨辉三角形中，第 n 行第 r 列的数。
由梨：“？”
我：“这样一来，就能将我们想证明的东西写成数学式了。只要证明
就行了。”
由梨：“原来如此。”
我：“先用一个例子来试试看吧，T(0, 0) 的值是多少呢？”
由梨：“第 0 行第 0 列的数吗？就是 1 啊，看表格就知道了。”
我：“没错。而且
因为算出来也是 1，所以
成立。换句话说，当 n =0、r =0 时，等式
成立。”
由梨：“说明太冗长啦 !”
我：“接着，来看看特殊情形的 n 与 r 会怎么样吧。”
由梨：“特殊？”
我：“先看看每一行的两端，也就是 r=0 与 r=n 的情形。”
由梨：“嗯……啊，就是两端的 1 吗？”
我：“没错，杨辉三角形的数在 r =0 和 r =n 时，一定会是 1。也就是说，T(n, 0)=1 且 T(n, n)=1。”
我：“由组合数的定义算出来会是多少呢？”
由梨：“当 r=0 时，
是 1 没错。”
我：“很好，所以等式
恒成立。r=n 又如何呢？”
由梨：“当 r=n 时，
也是 1 耶！
我：“非常好！这样我们得到了等式
也恒成立。”
由梨：“可是，这样也只能证明杨辉三角形的两端会符合等式而已啊，中间的该怎么办呢？”
我：“只要照着杨辉三角形产生数的规则写出式子就行啰！”
由梨：“你是指把上一行相邻的 2 个数相加这条规则吗？”
我：“让我们好好用数学公式来表示吧。若将第 n 行的数中，第 r列和第 r+1 列的数相加，也就是将 T(n, r) 与 T(n, r+1) 相加，会得到……”
由梨：“会得到下面那一行，也就是第 n+1 行的数吗？”
我：“是的，会得到第 n +1 行第 r +1 列的数，也就是 T(n +1,r+1)。”
由梨：“原来如此。”
我：“杨辉三角形产生数的规则，可以写成以下等式
因此，只要确认组合数
是否也能写成同样的式子就行了。”
由梨：“哦……哥哥，你要怎么确认呢？”
我：“只要有组合数的定义，计算等式左边会等于什么就行啰！因为是分数的加法，所以先通分再相加就能算出答案。”
由梨：“哇，这也太复杂了吧！和一般的通分差太多了。”
我：“重点是要注意到 (r+1)×r!=(r+1) ！及 (n-r)×(n-r-1)!=(n-r)!，还有最后的 (n +1) ×n! =(n +1)!。只要想想阶乘的定义就能明白了。”
由梨：“虽然有点儿麻烦，但还是能算得出来耶！”
我：“所以最后可得到这样的结果。”
由梨：“这样是不是就能证明杨辉三角形中，由上一行相邻两数相加所得的数是组合数呢？”
我：“是啊，这样就证明完了。”
由梨：“哦耶！”
《数学女孩的秘密笔记》
作者：[日]结城浩