数学不只是公式，更是借助想象力重塑直觉、训练清晰思考的方法。
冷月清谈：
怜星夜思：
2、把抽象的数学对象假装成真实存在的东西，真的能帮助理解吗？会不会反而产生误导？
3、数学思维真的能迁移到日常生活吗？除了算账，还有哪些具体场景？
4、很多人觉得自己“天生数学差”，这种判断更多来自能力差异，还是学习经历？
原文标题：一本不得不读的神书！值得反复读10遍！
原文作者：图灵编辑部
原文内容
先来看看顶尖数学大师们对这本书的评价：
数学家，菲尔兹奖得主陶哲轩说“这本书展现了一段真诚的数学之旅：数学思考是一段充满探索与犯错，并需要逐步纠正错误、提升理解力的精彩旅程。”
数学家，菲尔兹奖得主雨果·杜米尼-科潘评价这本书说“精彩！如果你好奇我们做数学时在想什么，那你就必须读一读这本书。”
这本书就是毕业于巴黎高等师范学院（ENS）数学专业的戴维·贝西（David Bessis）所著的《数学觉醒：学会更清晰地思考》这本书揭示了数学思维才是高级“软实力”，全书几乎不用任何一个公式做到，深入浅出的语言，进而让人人都能具备清晰思考的能力。
也因此，这本书一上市就成为打动全球数学家和“学霸”的奇书。
今天就让我们一起看看这本书的精彩之处吧！
在我的数学探索之旅中，尽管我热爱数学，并从中获得了许多乐趣，但我始终觉得，数学的真正要义并不在此。
对我而言，真正激励我继续前行的，并不是我能够证明的那些只有少数专家感兴趣的定理，而是其他更深层、更普遍的东西。
在我看来，这个更深层的东西至关重要，它与我们每个人都息息相关，触及我们的内心深处。它与人类理解过程中的种种问题紧密相关。当时我还无法为它命名，也无法说清楚它包含了什么。
我有一种感觉，许多有创造力的数学家对此也不陌生：似乎有个模糊不清的怪东西还没得到充分的解释。虽然不太清楚它究竟是什么，但我大致知道应该朝哪个方向挖掘。
在我看来，数学研究似乎是探索这个问题的最佳途径。我就像一个探险家，踏上探索未知大陆的旅程，这片大陆在地图上几乎无迹可寻。虽然不知道会发现什么，但我清楚地意识到，这实际上是一次自我探索之旅。
本书记录了我的冒险经历。正是因为我亲身经历了这一切，所以才能向你讲述出来。
那个当时在我眼中如此奇怪、模糊的东西，现在我终于可以用语言表达出来了。这就是本书最后一章的主题。
01
宇宙的语言
当我还在攻读博士时，一有人问起我的研究领域有什么用，我总会用一句玩笑话搪塞过去：“1000 年后，它会在物理学中派上用场。”那时，我对当代数学研究的实际应用持怀疑态度。然而，过去 20年的经历改变了我的看法。
你在日常生活中使用的所有科技产品，都是借助高等数学设计和制造出来的。通信、信息处理和自动化协议，都建立在层层数学抽象的基础之上。
几个世纪以来，数学在科技发展中一直扮演着举足轻重的角色。
而我们的世界和生活的数字化，更是将数学的作用无限放大。数学每天都在发现新的、意想不到的应用。长期被视为“无用”之物的“纯粹”数学，比如代数学和几何学，也不例外。
毫无疑问：数学对于科技极为有用。它所发挥的作用令人惊异，而且每天还在继续发挥更大的作用。
然而，纵观人类的漫长历史，科技对世界的数学化是不久前才产生的现象。这可以追溯到笛卡儿，以及他之前的伽利略。伽利略曾把宇宙形容为一本用“数学语言写成的书”，这一观点至今仍然广为流传。在 17 世纪之前，科学并不以数学为基础。数学在当时几乎没有实际应用。
在如今的中学和大学阶段，数学通常被看作科学中的实用工具，却被很多学生认为难以理解，在日常生活中没什么用。这种谈论数学的方式让数学和数学史变得难以理解。
数学家是如何发现宇宙的语言的呢？
数学是奇迹般地从天而降的吗？
在数学还一无所用的数千年里，是什么推动了它的发展？
古希腊哲学家为什么知道了数学这一宇宙语言，但又没有意识到这一点，却将数学作为哲学研究的先决条件呢？
02
观察与思考世界
当数学被看作一种尖锐、冰冷的外在工具时，它对我们来说永远是陌生的。官方数学是冰冷、残酷的，让人难以爱上它、渴望它。但数学家体验数学的方式并非如此。
在这本书中，我描述了自己利用直觉在数学上取得进步的过程。至少，一开始我是这样认为的，那时我还以为，重要的是书本中的官方数学。
随着年龄增长，我终于意识到事实恰恰相反，我其实是在利用数学来发展自己的直觉。
数学首先是一种内在工具，它的真正意义在于增强人类的理解。
除了不可或缺的技术应用，数学还有另一个更隐秘、更深刻、更强大的用途。
通过适当的想象力练习，我们可以形成对数学直观而熟悉的理解。
我们可以将数学内化，使其成为自己身体的一部分。
这才是真正的数学，它扩展了我们对周围世界的直观理解。
你已经掌握了这种内在的数学：你能在脑海中摆弄一个圆，感觉到999 999 999 这个数就在眼前。在观察世界时，你能认出数字和几何图形。
在你的脑海中，数学概念的表现形式与其他概念截然不同。数学概念学起来更难，然而一旦掌握，它就会变得更清晰、更稳定。
这是数学真理和逻辑形式主义未被充分认识的力量：这些工具让我们构建出无比清晰的心理图像。
你在小时候学到了什么是大象。后来，你了解到有两种不同的大象，可以通过耳朵的大小来区分它们。现在，你知道至少有三个不同的大象物种。谁知道明天会有多少种大象呢？
在数学中，数字 2 永远不会让你遇到这种尴尬的情况。数学真理的作用是将数学概念相互联系起来，形成一个高度一致且稳定的思维框架。虽然很难解释数字 2 实际上是什么，但你知道 2 + 2 = 4，这个结果是不会改变的。
你的数学直觉永远不会达到完美的境地，但逻辑和数学真理会帮你在一生中不断完善、调整和拓展它。
即使你认为自己数学很差，真正的数学在脑海中形成的概念框架，也仍然是你的世界观中最坚实的支撑点。如果没有数字，没有圆形和正方形，没有三维空间的概念，没有点和轨迹的概念，没有笛卡儿坐标系，没有距离、速度和加速度的概念，没有直线可以无限延伸的想法，没有概率的概念，没有加法和乘法，没有计算的概念，没有真理和逻辑推理的概念，那么，你周围的世界会突然变得模糊而不稳定，仿佛自己被切除了脑叶一样。
你所理解的数学增强了现实，并为其增添了一层神奇的可理解性，使你的思维变得异常清晰。
随着时间的推移，这种数学对你来说变得具体且显而易见，它如此“真实”，甚至不像数学了。相比之下，那些你还不理解的数学就显得抽象而荒谬，是“虚幻”的。
这些对你而言如此明显、如此根深蒂固的概念并非总存在。尽管令人难以置信，但就算是像整数这样简单的东西，也确实需要人们凭借思想的力量，穷尽人类理解能力来探寻。人们首先在直觉的迷雾中隐约感觉到了整数的存在，然后努力用语言表达出来。他们尽力使这些语言简单易懂，直到每个人都觉得整数是显而易见的。
当今数学家头脑中所蕴含的知识，是你所学知识的成千上万倍。
数学并不是宇宙的语言，而是能让我们清晰、准确地谈论那些无法用手指指出的事物的语言，它让我们能够推理、从事科学研究，也造就了今天的我们，无论好坏。
将数学视为一种重塑思维、拓展人类感知的技巧，这种观点是相当新颖的。这一观点已经存在了一段时间，但一直没有人费心去阐明它，使它为大众所理解——至少，直到最近还没有人这样做。
瑟斯顿曾写过一篇精彩的文章，总共三页，他在文中有力地表达了这一观点，以下是其中的一段摘录。
“人们常常认为，数学是追求普遍真理的学科，探索那些不依赖于任何特定背景的模式。但在更深的层面上，数学的目标是发展帮助人类更好地观察世界、思考世界的方式。数学是一场改变我们的冒险，我们在其中有多少进步，体现在思维方式的变化上，而非体现在我们发现的外部真理上。”
03
理解的过程
我还有一个关键点要讨论，这也许是本书中最重要的一点。在探索数学的过程中，有一个奇怪且不明确的问题一直困扰着我，但那显然不是数学有什么用。
那些问“数学有什么用”的人并不研究数学。而研究数学的人很清楚：数学肯定是有用的，哪怕只是给他们带来快乐——那种随着研究深入，世界在眼前豁然开朗的奇妙感觉。
当我们意识到数学的真正意义在于人类的理解时，还有一个巨大的谜团等待解开：是什么让数学如此难以分享？为什么那么多人觉得它难以理解？
如果我们知道这些问题的答案，就不会再有数学差生了。
在理解数学的过程中，最令人费解之处在于，数学不断地提到“现实中并不存在”的东西，但我们仍然要想办法去想象它们。
对于想要理解数学的人，我能给出的最简单、最根本的建议是，假装这些东西就在眼前，触手可及——这也是我在本书中反复给出的建议。
说到底，不擅长数学代表着一种不相信的态度——不相信想象不存在的东西有什么用处。
我承认，这确实令人困惑，但让数学有意义的唯一方法，就是想象它所谈论的东西是真实存在的。我在前文中引用过格罗滕迪克的这段精彩的话：
“我一生都无法阅读数学文章，哪怕它十分浅显或简单，除非我能根据自己对数学事物的经验给文章赋予‘意义’，也就是说，除非这篇文章能在我脑海中激发心理图像和直觉，使其生动起来。”
正如我们所见，这些心理图像并不宏大，也不复杂。它们总是很幼稚、很简单。当数学家想象一个球体时，他与你的想象方式没有太大区别。
数学家也是人。他们只能通过感知的方式来理解数学对象，例如使用人类的错误解释和近似，以及将数学词汇翻译成人类语言等。
事实上，这恰恰说明了数学给我们带来的有益影响：它丰富了人类词汇和人类感知。
然而，数学家始终牢记，他的心理图像只是对真理的近似，他一直在努力弄清楚自己的心理图像错在哪里。
真正的球体存在于“别处”，存在于某个平行世界里。争论这个平行世界是否真的存在是没有意义的，毕竟我们无法抵达那里。一些数学家坚信它存在，另一些数学家则坚信它不存在——还有一些数学家，比如我，对此毫不在意。
唯一重要的是（这也是真正令人困惑的地方），我们必须“假装”这个平行世界是存在的，因为如果没有它，数学就只是纸上难以理解的符号。
这就是为什么数学家坚持用“数学对象”这个词来指代大多数人所说的“数学抽象概念”。
换句话说，从纯粹实用的角度来看，数学与虚构的小说并无二致。
学习数学是一种纯粹的想象活动。我们通过思想的力量让数学进入头脑，某个神秘元素的凝聚力使数学紧密结合在一起。在某种程度上，这种神秘元素就是这部小说的真正主角与焦点——它就是数学真理。
在所有数学概念中，真理既是最简单的，也是最难解释的。如果想解释数字 2，你可以举起两个橙子。如果想解释什么是三角形，你可以指向一个三角形。但如果想解释数学家所说的真理是什么，你该展示什么呢？
通过虚构，数学家发展出了认识现实的新方法和新的思维方式，它们已经在历史的长河中证明了自己的强大力量。
这些虚构对象通过具体且直观的表现形式，形成了新的概念，丰富了我们对世界的理解。它们仿佛从小说中走了出来，变得“真实”、有形，就像当我们看到两个橙子时，数字 2 就切实地呈现在眼前。
在这个回归现实的过程中，所有数学对象都失去了完美性，但保留了它们在虚构状态下令人感兴趣的主要特征。一个橙子可能不是一个真正的球体，但我们仍然可以称之为“圆的”。
所有数学对象都是如此，只有一个例外。这个核心角色仍然被困在虚构之中。这是因为在现实世界中，任何东西都不可能是数学家所理解的那种真理。
当梦境消散时，数学真理也会瞬间消失，就像精灵回到了瓶子里。
04
数学觉醒
几千年来，讲述数学的方式使得大多数人难以理解数学。现在，我们终于有机会以另一种方式来讲述它。
数学应该像其他运动技能一样，是大多数人可以掌握的，就像游泳或骑自行车一样。然而，我们对语言本质和思维运作方式的错误信念阻碍了这种简单、直接的学习。它们阻碍了促进学习的行为。
如果一个人认为自己的直觉和对现实的感知固定不变、无法重塑，你怎么能教他数学呢？这就好像如果一个人认为自己的身体像石头一样沉重，最后会沉入水底，你就很难教会他游泳。
要想实现成功教学，必须先推翻这些错误信念。因此，我把本书构思为一本启发之书和解放之书。它讲述的不仅是数学本身，还有我们的身体、身体的运作方式，以及我们能用身体做什么。
我试着尽可能坦诚地讲述我们头脑中的所思所感：具体的人类现实、主观经历、身体与感官体验、我们所做的事情的实际方面、我们是如何做的，以及为什么这么做有效——这些内容从来都不是教学的一部分，因为它们本不属于数学的范畴，也因为我们对任何主观事物都持有根深蒂固的怀疑态度。
然而显而易见的是，这就是一切的关键。一些技巧有效，另一些技巧却无效，还有些技巧的效果甚至好得出奇。
在我看来，这是毫无疑问的：富有创造力的数学家并非在生物学上与众不同，他们只是找到了“解锁”人类大脑隐藏的强大模式的方法却不自知，也无法真正地将其与他人分享。
这是我在写作过程中一直遵循的假设。我专注于自己理解的内容，因此只涉猎了这个主题的一小部分。
我很幸运能够借鉴笛卡儿、格罗滕迪克和瑟斯顿的叙述。他们的故事彼此之间非常相似，就好像是从三个不同角度来讲述的同一个故事。这些故事与我的亲身经历非常契合，让我得以将自己的个人经历融入更古老、更强大、文献记录更丰富的传统之中。
即使是他们，也没有掌握所有的钥匙。笛卡儿只能假设他的心灵与身体分离，本质是神圣、无形的，否则他无法解释自己的经历。格罗滕迪克则相信上帝在他耳边低语，在他脑海中编织梦境。在这三人中，瑟斯顿是最现代的，也是最务实的，无疑也是最清醒的。
他们的坦诚，还有对细节的关注，对我们来说极为宝贵。他们讲述了自己所经历的一切，以及自己成功的秘诀。
他们的叙述从头到尾几乎都在谈论想象力。每个人都描述了运用想象力的新方式，这些方式是偶然发现的，与他们学到的方式截然不同。
格罗滕迪克认为自己工作的独特之处在于他打破了一个禁忌：“在所有自然科学中，似乎唯有在数学领域，我的所谓‘梦’，或‘清醒的梦’，被施加了一个已存在两千多年的绝对禁令。”
瑟斯顿则以一种不那么夸张，但同样影响深远的方式说道：“我确信，白日梦不是一个‘漏洞’，而是一个‘特性’。”
显然，数学学习与研究的关键在于我们的想象力。几千年来，我们一直误解了它的本质和作用，因此无法真正认真对待它。
想象力并不是一种依附活动，它不应该被压抑。相反，它是使我们的智力发展成为可能的核心活动。
不久之前，我们还认为自己不管以什么方式想象、想象什么，都不会对现实产生丝毫影响。然而，我们在脑海中看和做的事情，与在现实中看和做的事情一样，都有助于神经学习。
我们的想象塑造了对现实的感知。然而，从来没有人告诉我们应该如何去做。想象有千千万万种方式。我们还没有学会识别它们，更不用说命名它们了。“思考”“冥想”“反思”“视觉化”“分析”“幻想”“推理”“做白日梦”：我们随心所欲地使用这些词，却不真正清楚它们的含义，也没有意识到它们之间的共同之处。正是在这样的模糊不清之处，种种误解乘虚而入。
说模糊不清还不足以形容这一切：这是一个深不见底、没有光明的黑洞，是人类文化和教育中的一条死胡同。
我们想象的方式决定了我们的命运。一些方式会让我们变得愚蠢，另一些方式会让我们变得疯狂。还有一些方式拥有让我们变得聪明无比的力量。
数学家的技巧是最强大的技巧之一，让我们来揭开它的秘密吧。
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作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。