一本把概率、逻辑和数学思维讲成故事的科普书。
原文标题：顶级数学思维！全书堪比探险故事，像追剧一样欲罢不能！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章里说现实世界可以用理想数学模型来判断，你会信任这种“近似”吗？
3、如果学校里的数学课也像这篇文章里的“机会”课程一样，会不会减少很多人对数学的恐惧？
4、概率思维在日常生活中最容易被误用的地方是什么？
原文内容
你是否曾经觉得数学冷硬、枯燥，像一堵永远爬不过去的墙?
美国数学家约瑟夫·马祖尔花了三十年时间，收集学生和同行们攀登数学高峰的故事——关于他们的挣扎，关于那个"终于想通了"的激动瞬间，关于在抽象世界里发现意外之美的喜悦。
《数学奇幻之旅》不讲公式，不列定理推导，它讲的是：一个18岁的年轻人在委内瑞拉雨林里如何用勾股定理救出了一辆卡车；一个小学生如何用一幅图"证明"了数学史上最著名的定理；以及，逻辑究竟是什么，人类是如何一步步学会相信一个命题是真的。
这是一本让数学再次变得有血有肉的书。如果你曾经被“显然"二字卡住过，这本书是写给你的。
来源 |《数学奇幻之旅：16个探险故事》
作者 | [美] 约瑟夫·马祖尔
译者 | 应俊耀 蔚 怡
四十年前，纽约市的声音和现在大不相同。那时，嘈杂的公共汽车在大街上喷出难闻的黑烟，汽车喇叭在繁忙的十字路口毫无意义地响个不停。那时候，修剪整齐的安全岛分隔着百老汇大道北部的交通。
十字路口的人行道两旁，是成排的被雕刻精美的铁艺栅栏围起来的高大栗树，栅栏位于花坛中心，花坛里盛开着色彩缤纷的三色堇。
初秋的清晨，在金属垃圾桶倾倒声和垃圾车压缩机声响起之前，你能听到麻雀甜美轻快的叽叽喳喳的歌唱，以及鸽子忧伤低沉的咕咕的鸣叫。
那是繁忙的交通开始运转之前，街道还是湿润的，街道清洗车喷洒出的水强有力地将尘土和油垢汇聚成溪，冲入人行道边的下水道。那个时刻你会看到，快速前行的清洗车留下了缕缕薄雾，安全岛上盛开的黄色金盏花在水珠的重压之下低垂着。
我会漫无目的地走在百老汇大道上，闻着淡淡的含氯消毒剂的气味，这气味很快就被熟食店和花店里飘来的阵阵香气冲散了。
在一个温暖的秋日早晨，我沿着百老汇大道向北走去，路过在繁忙的十字路口拐角处码放报纸的报贩，他们正为早高峰做着准备。
为了赚钱供自己去欧洲读书，我从大学里休学了一个学期，为刊登在《纽约每日新闻》广告版上待售的长岛新房绘制效果图。因此，我早晨的时光是空闲的。
在哥伦比亚大学的入口处，我决定随机跟随一群暑期班的学生去上课。我紧跟在三人身后，他们聊得很投机，谈论着愈演愈烈的战争。
他们走进一间大教室，门上贴着课程表。课程表上的第一门课名为“机会”（Chance，也有概率的意思）。机会，仅此而已，没有其他任何描述。在这间没有窗户的教室里，狭窄的长桌充当着课桌，后面是一排排固定的木制长凳。
我有一种奇怪的感觉，仿佛这一计划是命中注定的。我在靠近过道的地方找了个座位，随即发现房间里的人寥寥无几，大多是漂亮的女生。我又往长凳中间挪了挪，好给还没到的人腾出座位。在这样一个小班级里，我的出现本应引人注目，但教室渐渐坐满了，绝大多数是男生，此时一位光头、短胡须的老教授走了进来，说话带有柔和的法国口音。
我听了半堂课，几乎没听懂，却对这位老人所讲的内容产生了兴趣。我猜他一定很老了，但他的激情和活力让我倍感惊讶。他个子不高，脸因为说话激动而涨得通红，眼里闪耀着热情的光芒。他在讲台前来回踱步，挥舞着手臂，眼睛瞪得老大，慢慢地扫视过前排，只会停下来短暂地盯着个别的学生。
这堂课的主题是 DNA 的复制，以及由于复制中随机产生的错误，新细胞会发生一些变异，根据达尔文的自然选择理论，这些新细胞可能继续生长复制，也可能无法存活。当时我还很年轻，对生命是由机会和运气所决定的观点感到震惊。
下课后，我慢慢地走到最近的地铁站，心里想着这节课的内容。那时候，连接布朗克斯的范科特兰公园和布鲁克林的地铁线被称作 IRT线。站在市中心的站台上，我看到了那位光头、短胡须的老教授。
我幻想他就是著名的法国数学家——证明了质数定理的雅克·阿达马。这个证明是对数学的伟大贡献，它告诉我们，当 n 很大时，小于 n 的质数数量逼近
。
在南行的地铁上看到阿达马教授可能并不是什么非同寻常的事情，只不过他当时应该已经超过 95 岁高龄了。
列车进站后，一小群乘客向车厢门移动。一个年轻、高大、留着胡子的男人推开了教授，想抢占车厢最后几个空座位之一。教授什么也没说，当列车左右摇摆着疾驶向下一个车站时，他不得不一路扶着一根立柱站着。
我本想对车里的每个人声称这位老先生就是雅克·阿达马，好像那样每个人都会立刻站起来给他让座似的，但转念一想还是算了。
这位不知道是谁的教授在我到站的地方下车了。他走上楼梯出了车站，我紧跟在他身后，沿着第八大街行进。当他走到第五大道时，他转过身来，直直地看着我，带着他在课堂上那种火热的激情说：“你是谁？你刚才在我的课上干什么？现在又为什么跟踪我？”
我说：“呃……我没跟踪您，我就住在那里。”我指了指华盛顿广场。
“那么，你是谁？你不是我的正式学生。”他有些不安地说。
“不是。”我很快承认，“我……我只是为了好玩儿旁听了您的课。”
教授歪着头，用食指把鼻子上的眼镜推高了些，问：“现在我班上有三个未注册的学生，我该怎么办？”
“不，不，”我说，“就今天，我……我不会再来了。”但是，教授露出责备的神情，暗示着如果我不来，他就会生气。
“你认识坐在你旁边的那个黑人小子吗？”他问道。他像那个时代的每个人一样，用了这个带有贬义的名词，但接着又表扬了这个小伙子。当他说话的时候，我站在他身边感到很尴尬。他告诉我，和我一样，那个“黑人”小子也从哈勒姆区“闲逛”过来，出于好奇走进了教室。
“不过，我要告诉你的是，他是班上最聪明的学生！”他说。教授开始让我觉得没那么紧张了。他一定有 85 岁了。“他疯了吗？为什么要告诉我这些？”我心想。
“请告诉我，”我说，“您的课是关于什么的？”它可能是赌博心理学、概率学，也可能是科学推理分析。
他又一次把滑落到鼻尖的眼镜往上推了推。“来吧，”他朝公园的方向挥了挥手指开始往前走，我跟在后面，“告诉我，你懂多少数学？”他问。
他不是我的教授，自然不可能给我打个低分。然而，我很难告诉他想听的答案。我只能说，我只学过一点微积分。事实并非如此，我花了两年时间学习数学，其他的几乎什么都没学。
在这个温度宜人、明媚无风的日子里，公园里的树叶已经开始变色并掉落下来。
他说：“让我告诉你我的课是关于什么的。在每个物理事件的开始，机会都会微妙地引导事件的结果，甚至开始时最敏感而细微的扰动也可能从根本上改变它最终的命运。雅克·阿达马提出来这个想法时——”
“雅克·阿达马？”我几乎喊了出来。
“雅克·阿达马是一位伟大的法国数学家，最近刚刚去世。他证明了，在击打台球时，球杆角度极端细微的偏差会导致截然不同的结果。”
“您的意思是，母球可能会击中或错过它打算撞击的球？”
“不，”教授说，“让母球与其他球碰撞——你们怎么叫它们？目标球？”
“嗯，我想是的。”
“嗯，让母球与目标球碰撞相对容易。我假设球员足够优秀，能够正面击中母球。但接下来发生的事情可能会带来截然不同的结果。例如，母球可能击中 2 号球，而 2 号球接着又可能将 4 号球撞入目标球袋；然而，只要稍有扰动，2 号球就可能完全碰不到 4 号球。为了精确地预先确定球杆的初始角度，你必须应对可能影响击球的各种微小条件。这就是体育运动的真谛。”
“您的意思是，每开一杆球，就是一局新的游戏，一局从未有人玩过的游戏。”我说。
“我的意思是，一个伟大王国的衰亡，可能归咎于一枚马蹄钉的丢失。看那边，”他指着公园里的一群下国际象棋的人，“每次有人走一步棋，都会为接下来的棋局开辟出截然不同的可能性。”
“这就是您这门课的内容？”
他笑着说：“不完全是。来听我的课就知道了。”他站起身来，走回第五大道。
两天后的早晨，我快步走在去哥伦比亚大学的路上。我在哥伦比亚大学书店买了一本空白笔记本后，过去听“机会”这门课。这次我就坐在那个从哈勒姆区闲逛过来的年轻人旁边。他长着一张和善的圆脸，穿着一件褪色的黄色 T 恤，上面有无数次水洗的痕迹。他的名字叫作尤赖亚·布朗（Uriah Brown）。
我们俩去得都很早，有足够的时间聊上几句，同时留意着教室里的情况，每当有女生进来时，我们都会朝门口瞥上一眼。对这门奇怪课程感兴趣的漂亮女生之多让我感到惊讶。前面的墙上挂着六块黑板，分成三对，其中一块可以滑到另一块上方。晦涩难懂的数学片段覆盖了布满灰尘的黑板，上面是密密麻麻的符号和图表。就在教授走进教室时，乳白色的玻璃吊灯突然闪烁了起来。
虽然我学过一门概率与统计的课程，但我对教材中的内容始终不太理解，也不太有信心。但仅仅听了教授一小节课，我就意识到自己的逻辑必须转向一种完全不同的推理方式。他谈到了骰子。那节课比较简单，是关于两种骰子的。一种是数学上的立方体，每个面出现的概率都相同，这是一种理想化的骰子；另一种是真实的，制作得非常精良，摇动后能够等可能性地停在任何一个面上。
教授设计了以实验为中心的课程。一个装有骰子的大玻璃碗在教室内传递，这个乳白色的玻璃碗与悬挂在天花板上的吊灯非常相似。
每个学生从碗里拿起一颗骰子，投掷 60 次，记录每个面出现的次数。
“我们知道，数学上的骰子，每投掷 6 次就会有 1 次点数 3 朝上。”教授说，“问题是，真实的骰子也是如此吗？答案取决于真实骰子的精度，取决于它的平衡程度，还取决于制造商是否仔细考虑了各个面上不同点数的差异。如果我们假设这颗骰子是‘公平’的，也就是说在所有方面都是对称的，那么我们可以认为，平均每掷 6 次就会有1 次出现点数 3。用真实骰子投掷 60 次进行验证，如果每一个点数都刚好出现了 10 次，你一定会感到震惊；如果在 600 次投掷中出现同样的情况，你会感到更加震惊。无论骰子制造得有多公平，其结果也不会与数学上的骰子完全一致。如果你投掷真实骰子 60 次，出现点数 3的次数占了一半，那么你就会怀疑这个骰子是偏向点数 3 的。”
这就是他的观点：理想化的骰子模型可以用来检验真实骰子的公平性。换句话说，我们应该假设一个真正公平的骰子应当与理想数学骰子行为非常相似。当我们假定现实世界的行为与数学世界中理想化的理论相符时，我们就接受了一种新的逻辑形式。
“理想的骰子，”他接着说，“是完全可以预测的。它每次都不偏不倚地落下，因为它被定义为无偏差的。而真实的骰子不仅受制于制造上的缺陷，还受到投掷时敏感条件的影响。当它离开手掌的时候，它是不是沿着一根轴旋转？它是如何撞击桌面的？是沿着 2、3、4、5这几面滚动吗？如果答案是肯定的，那么 2、3、4、5 比 1、6 更有可能出现。当骰子离开手掌时，投掷者在想什么？他的想法会影响结果吗？”
这个时候，一连串的回答混合成难以理解的喧闹声。有几个学生试图质疑对最后一个问题的任何肯定回答。当喧闹声消失后，坐在前排的一个女学生说：“您的意思是，反复对自己说‘给我一个 2’可以使骰子更倾向于出现 2 吗？”
“是的，我就是这个意思。”教授说。
“但这怎么可能呢？”那个学生继续说，“难道我们不应该假设掷骰子的人并没有看到他手中骰子的初始位置吗？如果掷骰子的人不知道初始的位置，那么怎么可能有任何思想会影响到结果呢？”
“不错的想法！”教授说，“但是，投掷者的心理能够影响结果这个假设是否可以检验呢？事实上，我们自己就可以检验它。但在开始之前，我们还需要学习一些关于检验假设的知识。首先，你们每个人都应该试试用你们的骰子与数学骰子进行比较。例如，你们怎么知道你们的骰子是公平的？”
还是这个女生，她举起手问道：“如果我掷骰子 60 次，6 个数字中的每一个都出现了将近 10 次，那么我是不是应该认为我的骰子是公平的呢？”
“非常好。”教授说，“但是你说的‘将近’是什么意思？如果投出9 个 2 和 11 个 3，这算是一个好的‘将近’吗？如果出现 8 个 2 呢？你看，这里就有个小问题。我之前说过，如果掷 60 次之后每个点数正好出现 10 次，你会很惊讶的。所以，你能够预见结果与掷理想骰子 60 次的结果略有偏差，但是偏差有多大呢？来掷一下你们的骰子，但在此之前，我要告诉你们，你们中一人的骰子偏向点数 2，是谁的呢？”
清脆的骰子碰撞声随之响起。结果令人惊叹。对于许多骰子来说，掷出的结果出奇地接近理想模型的预测；而另一些则与预测结果相差甚远。这些骰子存在明显的偏差。然而，还有一些与预测结果相差较远，但又不足以判断其公平性。
在过去的四年里，我一直被训练着用数学来处理问题，以寻求明确的答案。“将近”这个词并不存在于我的数学词汇中。我预期中的“将近”意味着极度不精确。然而令我惊讶的是，事实并非如此。在这节课结束时，我们了解到“将近”意味着在掷 60 次骰子后，如果点数2 出现超过 14 次，则可以得出结论，该骰子是偏向点数 2 的。这似乎是一种非常不严格的“将近”，但是，我很快学会并理解了这种将概率与推理联系起来的方法的说服力。
之后，在同一堂课上，教授拿来一个装满筹码的巨大玻璃碗。当教授走进教室时，乳白色玻璃吊灯似乎再次闪烁。我意识到这可能是我的幻觉。
“这个碗里有 1000 个筹码，有多少个是黑色的呢？”他问全班同学。
碗开始在房间里传递。我们被告知要搅乱筹码，任意取出 20 个，大声说出取出的黑色筹码的数量，然后把筹码放回碗里。教授在黑板上画了一条横线，上面均匀地标注着从 1 到 20 的数。随着碗从一个学生手中传到另一个学生手中，教授会根据喊出的黑色筹码数量在对应的数上画一个方格。
“我们可以把所有的筹码分门别类，数出黑色筹码的数量。”他说，“但我想让你们把这个碗看作一个比喻，代表难以度量的世界。难以度量的原因可能来自成本，也可能出于其复杂性，或仅仅是因为时间的消耗。我们能否通过重复选取 20 个筹码的样本来猜测黑色筹码的数量呢？”
随着碗的传递，黑板上的方格越来越多，堆叠在 6 上的方格比其他数上的要高得多。有的学生喊出 4，有的喊出 5，还有的喊出 3、7和 8，甚至还有人偶尔喊出 2 和 9，但大部分喊出的还是 6。
“当我们发现在一把 20 个筹码中，大多有 6 个黑色筹码时，我们应该做出什么猜想呢？”教授问道。
“20 个筹码里有 6 个是黑色的。”尤赖亚喊道。
“好吧。你会自然而然地猜想碗里有 300 个黑色筹码。”
“仅仅是猜想，”尤赖亚喊道，“还不确定。”
“对，仅仅是猜想。”教授说。
尤赖亚慢慢发现自己在质疑教授的观点，即少量的筹码应该反映出不同筹码总数的比例。教授似乎对尤赖亚的质疑很满意，他开始问其他学生，如果碗里有 300 个黑色筹码和 700 个白色筹码，为什么他们的 20 个筹码里会有近 6 个黑色筹码和近 14 个白色筹码。
“这就是数学告诉我们的。”一个学生争辩道，“一只真实的手抓取真实的筹码，应该只有将近 6 个筹码是黑色的，将近 14 个筹码是——”“不，”教授打断了他的话，“尤赖亚说得对。大数定律告诉我们，只要手里的筹码足够多，你就应该预期这一把筹码能反映出碗里筹码的情况。但是怎样的一把才算足够多呢？”
他的意思是，一把 20 个筹码中可能有 6 个黑色筹码，但一把 40个筹码里更可能有 12 个黑色筹码。增加一把筹码的数量，你就能更精确地猜出碗里黑色筹码的数量。这个富有见地的论点是这样的：一把筹码的数量越多，它就会越接近碗里筹码的总数。
因此，如果手大到可以抓起碗里所有的筹码，那么其中肯定会正好包含碗里的所有黑色筹码。一把 20 个筹码中没有黑色筹码会让人有一点诧异，但一把 90 个筹码中没有黑色筹码则会让人大吃一惊——90 个筹码中应该有差不多27 个黑色筹码。
教授问我们，如果一把 90 个筹码中没有黑色筹码，我们会作何反应。我们明白，虽然这种情况有可能发生，但极其罕见，如果真碰上了，一定会令人大为惊愕。到那时，尤赖亚的质疑就会烟消云散了。
“您说的是筹码，”他说，“它们是实实在在的东西，不能用精确的算术来解释。我的意思是，如果我投掷一枚真实的硬币，它在数学上永远不会是完美的，您怎么能简单地假设数学会提前告诉我们它会哪面朝上呢？”
“是不是很神奇？”教授喊道，又一次在空中挥舞着双手，“你说得对，现实世界似乎非常接近数学。对筹码进行取样不仅仅告诉我们碗中一种颜色相对于另一种颜色的分布情况。那么，如果筹码代表着更有趣的东西呢？假设它们代表纽约市有投票权的居民，黑色的代表在即将到来的市长选举中投票给约翰·林赛的人。我们似乎可以预测选举结果。选举实际上是在林赛、比姆和巴克利三个候选人之间进行的，所以有点棘手，因为没有一个候选人能获得超过 50% 的选票。民意调查显示，林赛的得票率为 46%，比姆和巴克利的得票率分别为 41% 和13%。民调机构是如何知道的？他们似乎已将选情完全锁定，误差率仅为 3%。”
“那么，怎么才能‘抓取一把’选民呢？”尤赖亚问。
“啊哈！”教授精神抖擞地回答，“你可以问他们，但你必须小心选择询问对象。这很棘手，你的预测准确与否完全取决于你的选择随机程度。换句话说，如果你选择的选民就像你手中的筹码一样随机，那么选举就可以通过模拟来预测。”
当然，教授的意思是可以在一定的误差范围内预测选举结果。林赛的得票数只是一个估计值，但这个估计值的准确度如何呢？不同的一把筹码，即使是随机选取的，也会包含不同数量的黑色筹码，这是意料之中的。但估计值的准确度取决于重复抓取的筹码中黑色筹码数量的变化。这就产生了一些奇怪的悖论：如果重复的一把筹码得到了截然不同的结果，我们会认为缺乏准确度；而如果抓 100 把筹码，每把抓 20 个，每一把里都包含 6 个黑色筹码，那么抽样似乎能精确地反映出黑色筹码与白色筹码的比例，但对此我们又持非常怀疑的态度。
下课后，教授邀请了三个学生一起喝咖啡，他指了指我，剩下两个则是前排的一位女生和尤赖亚。我把对教授年龄的估计下调了。
在他的带领下，我们来到百老汇的一家午餐店，那家店的菜单足有 12 页。我们坐了一小时，教授让我们谈谈自己。我没怎么说，那个女孩坎迪丝（Candice）也没说多少，我们就听尤赖亚讲。
尤赖亚高中就辍学了，前一年一直在哈勒姆区一家药店的冷饮柜台工作，直到这家药店被人持枪抢劫。他在柜台下面放着一本破旧的现代文库（Modern Library）平装书《数学缔造者》（Makers of Mathematics），闲暇时就偷看一下。当时他可能已有 19 或 20 岁了。
有一天，他冒险越过了哈勒姆区的边界。他承认自己从来没有去过第 120 街以南的地方，9 月清晨的空气中有一种气味，在召唤他从第 127 街和圣尼古拉斯大道附近的家庭公寓向西南方向走去。他漫步到了一个与他所熟悉的环境截然不同的世界。
当他到达哥伦比亚大学校园的东侧时，不知道是什么驱使他进来。他想起了他的《数学缔造者》，于是便在几栋大楼里寻找教数学的人的踪迹。他和我一样，看到一间大教室的门旁写着“机会”的字样，就走了进去。
尤赖亚沉迷于扑克和赌博，这让他无助地徘徊在哈勒姆的街头。在那里，掷骰子和黑彩票是常见的消遣。他把每周工资的很大一部分花在了黑彩票上。但对数学的渴望让他针对赌博提出了一些问题。当他看到哥伦比亚大学教室门上写着“机会”时，他注定是要进去的。关于赌博的现实，数学又能教会他些什么呢？
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