数学不是背公式，而是训练想象、理解与清晰思考的能力。
原文标题：如果只读一本“数学”入门书，那必须是这一本！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、文章说“无穷也有大小”，这个观点为什么会让很多人第一次听到时觉得震撼？
3、数学证明追求100%的确定性，但现实生活中很多决策只能靠概率。我们还有必要学习这种“绝对确定”的思维吗？
4、如果想让孩子或成年人重新对数学产生兴趣，应该先讲实用性，还是先讲数学里的惊奇感？
原文内容
即便毕业多年，仍无法体会数学之妙，享受数学之乐。
这是为什么呢？
因为数学需要的从来不是记忆，而是理解；
但很多学校追求的是你的考分，而不是你的热爱。
戴维·贝西（David Bessis）所著的《数学觉醒：学会更清晰地思考》这本书揭示了数学思维才是高级“软实力”，它让我们明白“我们想象的方式决定了我们的命运。一些方式会让我们变得愚蠢，另一些方式会让我们变得疯狂。还有一些方式拥有让我们变得聪明无比的力量。”
而这会让你重新爱上数学。
如果数学家的心理活动看得见，那么研究机构就会建起玻璃幕墙。行人驻足观看，就像围观玩风筝冲浪或攀岩的人一样。在高中，数学会比滑板更受欢迎。
如果失去了模仿的能力，那么我们不仅仅失去了主要的学习方式，也失去了主要的渴望方式。
当你还是个孩子的时候，你不需要别人来激发你对骑自行车的欲望。没有人非要说服你，自行车会在以后的生活中大有用处，或者给你的简历锦上添花。
你从未想过这些问题。你只是看到了其他孩子骑自行车。你很喜欢，也想做同样的事情。
1687 年，牛顿出版了伟大的物理学著作《自然哲学的数学原理》，阐述了力学的两大定律：万有引力定律和惯性定律（牛顿第一定律）。自那之后，支配自行车运动的物理原理就已为世人所知。
然而，过了一个多世纪，自行车才被发明出来。如果你送给当时的牛顿一辆自行车作为生日礼物，他是不会骑上去的。最有可能的是，他会觉得这么做既荒谬又危险。他甚至会向你证明，在自行车上保持平衡在物理上是不可能的。但如果你现身说法，给他做个示范，他一定会感到好奇。
01
激发数学兴趣的秘诀
假如我能展示出来我脑海中的数学，一定会让很多人感兴趣。但空口无凭，毕竟，我没办法展示出来，也没办法直接分享。
谈到激发兴趣，我采取了一个另辟蹊径的方法。我不会讲述我个人感兴趣的内容，而是选择更通俗易懂的主题，并致力于重现那种美妙的情感体验。归根结底，让我对数学产生兴趣的就是一种情感体验—— 一个非常单纯的触发点，就像有人“挑衅”我，而我不想承认自己害怕一样。
我清楚地记得第一次看到人们玩风筝冲浪时的感受。我心想，我眼前的画面不可能是真的。然而眼见为实，这显然是可能的。最后，我站在那里看了很久。
在接触数学的过程中，也有类似的东西吸引着我。在当时的我看来，数学似乎太难、太抽象、太难以理解了。研究数学似乎根本不可能，但同时又显然是可能的。
数学的困难，以及它给我们带来的眩晕和恐惧，只是情感体验的第一部分。第二部分是，当我们最终发现研究数学不仅是可能的，而且还很简单时，那种从深刻理解中油然而生的无比强大的奇妙感觉。
其实，它从一开始就很简单，只是我们没有看出来而已。
在每一次学习数学的过程中，我都会有眩晕感，同时感受到数学的力量——先是畏惧，接下来，魔力出现了：这是激发数学欲望的强大秘诀，也是对课程中的刻板数学的绝佳补充。数学不是胆小者的游戏，当它的可怕之处被隐藏起来时，它就没有吸引力了。如果没有畏惧感，自然也就不会有什么魔力了。如果你不喜欢这种强烈的感觉，那么数学可能不适合你。
02
无穷也有大小
一个好的数学科普主题，应该能让人在无须掌握专门技术的情况下就能拥有恐惧和魔力的双重体验。最理想的情况，就是从小学生的语言和直觉出发。接下来，我想讲讲格奥尔格·康托尔（Georg Cantor，1845—1918）的发现。
无穷的概念可以追溯到非常遥远的古代，几千年来，它一直象征着不可想象的事物。人们可以谈论无穷，却只能用一种神秘而夸张的语气。这种语气很时髦，看似高深莫测，实际上却什么也没说。人们从未有机会以实用而轻松的方式谈论无穷，就像谈论数字 5 或一条与圆相交于两点的直线一样。
具体而精确地谈论无穷就像登月一样，都曾是典型的不可能的事。直到有一天，康托尔发现谈论无穷是可能的。更令人难以置信的是，这项惊人发现在问世一个多世纪后仍然鲜为人知。
当我遇到不知道无穷也分大小的人时，感觉就像遇到了不知道可以数到比 5 还大的数的人。这给了我一个分享新知的机会。
想象一个无限延伸的平面，上面有一个网格。在图 15.1 中，我只画出了这个平面的一小部分，但你可以明白我在说什么：这是一张网格纸，它可以往四个方向无限延伸。
在这个无限延伸的网格中，有无穷多个白色方格。这个说法通常很好理解，人们觉得这样的描述简单而具体。
在一条无限长的直线上，也有无穷多个点。人们一般也能理解这个说法。大家都能看懂这幅图（图 15.2）。
网格中的方格与直线上的点，哪个更多？还是说，它们数量相等？
我听到有人对这些问题不屑一顾。他们深信，无穷是神秘主义者和神学家谈论的话题。他们有两种典型反应：“这个问题毫无意义”，以及“无穷不存在”。
我们必须二者选其一：要么无穷不存在，那么直线也就不存在；要么直线上点的数量是有穷的。数学抽象与其他抽象概念一样，其抽象程度并不会更高或更低。红色真的存在吗？电子真的存在吗？正义和自由真的存在吗？在第 18 章中，我们将讨论像大象这样实用而具体的概念所带来的困难，这种概念性困难几乎无法克服：从某种意义上说，大象其实并不存在。但这丝毫不会妨碍我们谈论大象，或者针对大象提出具体问题，并给出有意义的答案。
康托尔意识到，集合论的语言可以为无穷有多大的问题赋予非常精确的意义。
集合是一个非常古老的概念。自古希腊以来，人们就在非正式地使用这个词语，没有人对此提出异议，也没人费心去深入研究它。你可以说“我家街上所有房子的集合”“你面前所有苹果的集合”或“所有整数的集合”，人人都能明白这表达的是什么意思。“集合”这个词语曾被看作日常用语中的一部分，而不是一个数学概念。
康托尔从“集合是什么”这一直观理解出发，发明了一套简单、生动的词汇。康托尔的定义并不比第 8 章中提到的触觉理论更复杂。
有了这套词汇，我们就可以为刚才的问题赋予非常精确的意义，并给出一个既出人意料又清晰明了的答案。
定理：直线上的点比网格中的方格多。
令人惊讶的是，从最初的定义到这个定理的证明，整个过程可以在不到一小时内向一个小学生解释清楚。也就是说，一个自古以来被认为不仅无法解决而且根本无法想象的问题，其解决方法一直摆在我们面前，用不了一小时就能理解。
我可没有开玩笑：有一次，我和朋友们共进午餐，饭后，我一边喝咖啡一边向他们的孩子们解释了这个问题，他们对此很感兴趣。
下面是一个非常简略且不完整的证明思路。网格中的无穷多个方格被称为可数的：所有方格都可以用整数来编号（例如，从任意一个方格开始，将其编号为 0，然后将 0 方格周围的方格编号为 1 到 8，以此类推，用层层嵌套的方式将方格逐一编号，直到无穷）。康托尔发现，与网格相反，直线上点的无穷是不可数的：直线上的点实在太多了，多到无法用整数给它们全部编号。为了证明这一点，他使用了一个方法，如今被称为“康托尔对角论证法”。
与其试图用文字向你解释细节，我更希望你找一个能面对面向你解释的人。正如我们在第 6 章中提到的，直接交流比阅读效果更好。在此过程中，你可以根据第 13 章中的建议，强迫自己提出能想到的所有愚蠢问题——我保证，你一定有不少这样的问题。
康托尔的方法如此强大，他自己也感到非常惊讶。他认为这是神明直接传达给他的启示。对于他最出乎意料的一项结果（一条直线上的点和一个平面上的点一样多），他在给一位朋友的信中坦言：“我看到了这个结果，但我不敢相信！”
康托尔的研究成果十分新颖，极具开创性，以至于他不得不面对同时代人的质疑。一位有影响力的数学家甚至称他为“科学骗子”“叛徒”“败坏青年者”。当他向一家科学期刊投稿时，编辑拒绝了他，理由是这篇文章“问世早了一百年”。
康托尔在晚年饱受争议，陷入了深深的抑郁，多次进入疗养院接受精神治疗。
最终，他的思想赢得了胜利。自 20 世纪初以来，集合的概念已成为数学的核心。对于我们这一代人来说，没有集合的数学就像没有电的生活，令人难以想象。
03
“捕捉”纽结
当我想解释数学证明是什么、有什么用，以及通过思考的力量所构建的确定性的独特之处时，我很喜欢使用纽结理论中的例子来说明。
在数学中，纽结指的是将一根绳子的两端连接起来的方式。比如，你可以用一根绳子打成三叶结（图 15.3）。
这根绳子应该是有弹性且不会断开的：只要不解开它，随你怎么摆弄，纽结都不会发生改变。例如，你可以先将绳子打成三叶结，摆弄一下就可以得到下面这个结（图 15.4）。
它仍然是三叶结，只是画法不同而已。如果你没有立即看出图15.3 是如何变成图 15.4 的，感觉有点儿头疼，别担心，这很正常。你可以用一根真正的绳子帮助自己理解。
最简单的打结方法如图 15.5 所示。
这个结叫作平凡结。从某种程度上说，它就像纽结中的“零”，实际上并没有被真正打成结。
当然，我们也可以用不同的方式画出平凡结，如图 15.6 所示。
我们分明可以看出，绳子并没有真正打结，我们画出的仍然是平凡结。但是，平凡结还有其他画法，让人无法一眼看出它是一个平凡结。例如，你可以像图 15.7 这样画一个平凡结。
如果手头没有绳子或者纸笔，要在脑海中厘清这幅图真是一大难事。尽管我在处理这类问题方面受过扎实的训练，却还是花了不少时间才想出办法。如果你没受过特殊训练就能在几分钟内解开它，那你真是太厉害了！只要你第一次成功了，之后再解开它就容易多了。
老实说，这个例子已经接近我的视觉化能力的极限了。如果要在脑海中尝试解开一个显然更复杂的平凡结（图 15.8），那就远远超出我的视觉化能力极限了。
我不知道是否有人能在脑海中解开这样的结，并且一眼就“分明”看出它没有打成真正的结。这个想法让我感到害怕，光是想象一下就头疼。
正是因为人们很难看出两个图案代表同一个结，所以纽结理论才成了一个有趣的主题。
一旦意识到有无数种复杂程度不一的方法能画出同一个结，我们就会明白，不能保证两个画法不同的结一定是不同的。例如，一个合理的首要问题是：三叶结和平凡结真的不同吗（图 15.9）？
换句话说：你能在不剪断绳子的情况下，通过扭转把三叶结解开，然后把绳子放在桌子上，让它形成一个圆吗？
你如果做个实验，就会发现这是不可能的。根据这个实验，三叶结和平凡结似乎不是一回事。
我很喜欢这个例子，因为它完美地体现了笛卡儿的怀疑方法，以及直观感受与严谨证明之间的根本区别。
我们不妨花十分钟，拿一根绳子做一个真正的实验，然后问自己以下问题：你对三叶结与平凡结不相同的确信度有多高？ 50% ？80% ？ 99% ？ 99.99% ？你敢说，对此没有一丝怀疑吗？我换一个更直接的问法：你真的敢打赌吗？
有什么能保证在既没有蜿蜒曲折的路径，也没有突如其来的窍门的情况下，你就能把三叶结变为平凡结？
这就像那些看似无解的谜题。如果你知道答案，你就确信有解；如果你不知道答案，那么你就不清楚究竟是真的无解，还是暂时没有找到解而已。
我们都有一种感觉：三叶结与平凡结是不同的，但平凡结的那些非常复杂的画法表明，我们不能依赖第一印象。一根绳子看起来乱成一团，并不意味着它真的缠在一起了。
我们完全可以想象，通过一系列复杂的操作，或许可以把三叶结解开，变回平凡结，但还没有人发现应该怎么做。
乍一看，要达到 100% 的确信度似乎是不可能的，因为这需要考虑到绳子所有可能的变形方式。即使花上十亿年来摆弄这根绳子，我们也只能尝试有限种组合。
数学推理的美妙之处在于，它能够处理如纽结这般难以捉摸的对象，并对那些初看之下似乎不可能以如此之高的确信度解决的问题给出 100% 确定的答案。
我所说的“难以捉摸的对象”，指的是那些表面看起来不适合用语言严格描述和处理的对象。打结的绳子不像整数，不像可以用方程来解决的东西，它不是那种我们感觉可以用语言来捕捉的事物。
三叶结的例子就很能说明问题。绳子看上去打了结，如果不剪断就无法解开它。但我们找不到纽结在绳子上的确切位置——它不是一个能用手指指出的具体的点。我们能感觉到纽结的存在，却永远无法真正“捕捉”到它。
当我还是学生时，我发现竟然可以用语言来捕捉绳结，还能以100% 的确信度给出完整证明，这让我印象非常深刻。
定理：三叶结不同于平凡结。
你可以在书后的注释部分找到该定理的大致证明思路。
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作者：[法] 米卡埃尔•洛奈（Mickaël Launay）
译者：欧瑜
惊讶！是思考的起点；
数学，是理解世界本质与万物关联的工具！
以数学为起点，以思考为快乐！
法国数学学会“达朗贝尔奖”得主科普名作。
数学，是理解世界本质与万物关联的工具，它能制造两个指南针：一个叫“实用”，一个叫“优雅”。不懂得数学的意义，就无法真正学习和理解数学。
科学家为什么那么聪明？因为他们有非凡的思考方法。
以数学为工具，以思考为快乐；培养自己的思考力、观察力，成为真正的思考者。