斯皮瓦克经典《流形上的微积分》中文版再版，适合想从现代视角深入理解微积分的读者。
原文标题：著名数学家齐民友领衔翻译，一本改变无数人在数学上发展的微积分经典神作！
原文作者：图灵编辑部
冷月清谈：
怜星夜思：
2、《流形上的微积分》这种“薄但难”的书，适合自学吗？还是必须有老师带着读？
3、为什么很多人会说“数学不是看懂的，而是算懂的”？你有没有类似体验？
4、如果想读这本书，除了微积分和线性代数，还需要提前补哪些知识？
原文内容
《流形上的微积分》这本书在2006时在图灵出版，受到广泛的喜爱和推荐。译者分别是数学家、教育家、武汉大学原校长齐民友和中国数学会原常务理事、数学家路见可，译本质量很高。曾经一度成为众多国内高校的教材。
此前出的是双语版，此次保留了中文版。
本书主要涉及高等微积分的知识，对于一些经典结论进行了现代化的处理，利用微分流形和微分形式，简明而系统地讨论了多元函数的微积分。全书共5章，包括欧几里得空间上的函数、微分、积分、链上的积分、流形上的积分。内容深入浅出，论证严格却易于理解。阅读本书需要具备坚实的微积分基础，熟悉线性代数和集合论符号。除此之外，对抽象数学的理解也是必不可少的。
两位译者评价此书说到“本书内容是初等的，但是探讨的方法都是现代的。它与我们常见的经典的微积分教材比较，具有明显的特色……特别是处理方法对读者在数学上的发展有着非常重要的价值。”
中译本第一次问世是在 1981 年，在经历了四分之一个世纪后再次与我国读者见面，是很有意义的．
第一次与读者见面时，正值改革开放初期，大家对获取新的数学知识有着极高的热情．而现在再次呈献给读者时，人们关注的仍然是如何使我国的数学教育与研究工作更好地跟上世界数学发展的步伐．从不少读过此书或用此书进行过教学的读者的反馈来看，本书仍是有益的．正如原书序所说，本书内容是初等的，但是探讨的方法都是现代的．它与我们常见的经典的微积分教材比较，具有明显的特色——“现代的和经典的处理方式按照完全不同的思路进行，其间有许多交汇点，最终汇合在最后一节．”
读过本书后，后续读物是什么？也如原书序所说：“至少有一半主要的数学分支都可以很有根据地推荐为本书内容的合理的继续．”由此可以看到，本书所介绍的内容，特别是处理方法对读者在数学上的发展有着非常重要的价值．
那么，本书是不是很难？这要看读者的要求．本书篇幅小，内容简洁，陈述也不晦涩．如果只是粗略读一次，至少能学会现代数学的某些概念、用语和方法．
但是真正的问题在于，现代的与经典的数学比较，在思路、风格上都大有不同．要想学到现代数学的一些思想与方法，进而能运用自如，当然不是易事．所以原书作者希望读者“鼓起勇气彻底学好第 4 章，确信这些努力是值得的”．数学界有一句“格言”：数学不是看懂的，而是算懂的．意思是想要真正掌握数学，唯一的办法就是拿起笔来自己算上一算．所以原书序说“习题是本书最重要的部分”．
当本书的编辑建议为本书编写习题解答时，我们开始还有一些犹豫，因为不少同志都说，如果把习题都解答了出来，一本好书就至少会降低一半价值．但是当我们仔细看过习题后，发现这里几乎没有依样画葫芦般的模仿性操作，也几乎没有什么技巧性的“难题”．书中的习题主要是帮助读者领略或掌握一些现代数学的风格和表述方法．
这就不应该只靠大学生自己单枪匹马地探索解题方法．所以我们仍然选了一些有代表性的题目，阐述了我们自己的想法．但是这些题目也没有完全做到底，读者自己仍然要下苦功夫，甚至查阅一些参考书．可以说，本书的“附录”只是一份参考材料．书中仍有不少习题应该在参考书中寻找解答．因此，第5 章后一部分习题就完全没有给出提示，因为那样会占用太多篇幅．同时原书作者似乎也只是把重点放在前四章和第 5 章的前一半．
无论如何，这个附录一定有许多缺点：可能对习题理解有误，可能解法有误．
至于有些题目做得“不好”是必然的，希望读者不吝赐教．但是如果这些提示对读者有所启发而引发动手解题的欲望，也就完全达到了目的．
原书提到了少量参考书，不仅如原书作者所说的可能不完备，甚至对求解习题也不会有立竿见影的效果．我们也不打算再多列一些．至少，所有关于微分流形、微分拓扑的书，大部分是可以用的．但想要达到上面讲的目的，再读一本篇幅大一点的书似乎是很有必要的．译者想请大家注意原书作者的一本大部头书（五卷集）：M. Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry.Publish or Perish, Inc. Berkeley, 1979．这是一本几何名著，第一卷是讲微分流形的．读者如果有可能下一点功夫至少读上前几章，必会大有收获——但也不一定能找到这里的习题的详细解答．
不少同志使用过本书作为教材．浙江大学干丹岩教授特别详细地提供了自己在教学中发现的原书的错误，我们在修订译本时大都作了修正．武汉大学杜乃林教授在我们编写习题解答时提供了极大的帮助．在此表示诚挚的谢意．这次出版译者自己也改正了一些错误．我们诚恳地欢迎读者继续提出批评意见．
译 者
2005 年国庆节
《流形上的微积分》
作者：[美] 迈克尔·斯皮瓦克（Michael Spivak）
译者：齐民友，路见可
微分几何大师斯皮瓦克经典之作！
菲尔兹奖和沃尔夫奖得主约翰·米尔诺弟子、微分几何领域著名数学家斯皮瓦克代表作；
微积分深入，微分几何入门，揭开“斯托克斯定理”的真面目，避开冗长的计算和烦琐的细节，轻松看清微积分的本质；
武汉大学前校长、著名数学家齐民友领衔翻译。