确实，线性代数很多概念都很抽象，刚开始学的时候很容易一头雾水。记得当时学特征向量和特征值，一直不明白它有什么用。后来在学习图像处理的时候，才发现特征向量可以用来提取图像的主要特征，特征值则代表了这些特征的重要性。那一刻，感觉之前学的知识都活了过来。
学数学嘛，两种都重要。代数计算是基础，没有这个基础，几何直观就是空中楼阁。但如果只有代数计算，那就太枯燥了，也容易陷入死记硬背。最好是先用几何直观建立起感觉，再用代数计算去验证和深化理解。
谢尔顿·阿克斯勒（Sheldon Axler）的这种做法，实际上是希望学生能够更加关注线性代数中的结构性东西，而非一上来就陷入行列式的计算泥潭，就好比学习编程，如果一上来就扣语法细节，很多人可能直接就放弃了。当然，如果为了应付考试，尤其国内考研，那还是老老实实算行列式吧（手动狗头）。
对我来说，几何直观更容易理解。代数计算就像是按照公式一步步解谜，虽然能得到答案，但总觉得少了点什么。几何直观则能让我看到问题的本质，建立起更深刻的理解。当然，最终还是需要将两者结合起来，才能真正掌握线性代数。
我真正理解线性代数是在学习有限元分析的时候。之前学的矩阵、向量空间等等，都只是纸面上的东西。但是当用线性代数来描述和求解实际的物理问题时，才发现它原来这么强大！那些抽象的概念也变得生动起来，不再是单纯的数学符号。
可能是因为行列式在某些情况下会掩盖线性代数的本质吧。行列式计算繁琐，容易让人只见树木不见森林。强调从线性变换的角度理解线性代数，可能更容易抓住问题的核心。不过，对于工科学生来说，行列式计算依然是必备技能，毕竟很多实际问题最终还是要转化为数值计算。
优势在于能够突出线性代数的本质是概念而非计算，强调几何直观，避免学生陷入繁琐的计算细节而忽略了对线性代数核心思想的理解。局限性在于，对于需要大量计算的专业（如工程、物理等），缺乏行列式的训练可能会影响实际应用能力。所以更适用数学系这种对理论深度要求高的专业，其他专业酌情。
从认知心理学的角度来看，几何直观更符合人类大脑的处理方式。我们的大脑更擅长处理图像和空间信息，因此通过几何直观来理解线性代数概念，可以减轻认知负担，提高学习效率。然而，代数计算是严谨的数学证明的基础，任何几何直观都必须通过代数计算来验证和推广。理想的学习方式应该是两者结合，相互促进。
线性代数是泛函分析的基础毋庸置疑。很多泛函分析的概念，比如向量空间、线性算子、内积空间等等，都是从线性代数推广过来的。如果你线性代数没学好，直接学泛函分析可能会一脸懵逼，各种概念都搞不清楚。所以说，线性代数是内功，泛函分析是招式，内功不好，招式再花哨也没用。